Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Calcula la tasa de variación media en el intervalo [0,2] para las funciones:

a) $f(x)=x^3-x^2+3$
b) $f(x)=x^4+2x^2-x$
c) $f(x)=x^2+2$

La tasa de variación media de una función en un intervalo mide cuánto cambia la función por cada unidad que avanza la variable, y es la pendiente de la recta que une los dos puntos de la gráfica. En todos los apartados el intervalo es el mismo, de 0 a 2.

$\mathbf{\text{a)}}$ Para la función $f(x)=x^3-x^2+3$ calculamos su valor en los dos extremos del intervalo. Con $x=0$ la función vale:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(0)}& {\displaystyle =0^3-0^2+3=0-0+3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3}\end{array}$
Y con $x=2$ vale:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(2)}& {\displaystyle =2^3-2^2+3=8-4+3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =7}\end{array}$
Ya podemos aplicar la definición:
$\boxed{{\displaystyle \text{TVM }[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
Sustituimos $a=0$ y $b=2$ en la fórmula:
${\displaystyle \frac{f(2)-f(0)}{2-0}}={\displaystyle \frac{7-3}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$


$\mathbf{\text{b)}}$ Para la función $f(x)=x^4+2x^2-x$ calculamos su valor en los dos extremos del intervalo. Con $x=0$ la función vale:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(0)}& {\displaystyle =0^4+2\cdot 0^2-0=0+0-0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0}\end{array}$
Y con $x=2$ vale:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(2)}& {\displaystyle =2^4+2\cdot 2^2-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16+2\cdot 4-2=16+8-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =22}\end{array}$
Ya podemos aplicar la definición:
$\boxed{{\displaystyle \text{TVM }[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
Sustituimos $a=0$ y $b=2$ en la fórmula:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{f(2)-f(0)}{2-0}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{22-0}{2}}={\displaystyle \frac{22}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =11}\end{array}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Para la función $f(x)=x^2+2$ calculamos su valor en los dos extremos del intervalo. Con $x=0$ la función vale:
$f(0)=0^2+2=0+2=2$
Y con $x=2$ vale:
$f(2)=2^2+2=4+2=6$
Ya podemos aplicar la definición:
$\boxed{{\displaystyle \text{TVM }[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
Sustituimos $a=0$ y $b=2$ en la fórmula:
${\displaystyle \frac{f(2)-f(0)}{2-0}}={\displaystyle \frac{6-2}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$