Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Observa la gráfica de la función $f$ y determina:










a) El dominio y la continuidad de la función.
b) El recorrido.
c) Las asíntotas verticales y horizontales.
d) Los puntos de corte con los ejes.
e) El crecimiento y el decrecimiento.
f) Los máximos y los mínimos.
g) La tasa de variación media en los intervalos [-2, -1] y [0, 1].

Aquí no hay nada que calcular: todo se lee en el dibujo. Lo único que hace falta es saber dónde mirar en cada apartado.

$\mathbf{\text{a)}}$ El dominio son los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto. Se lee recorriendo el eje $X$ y mirando si justo encima o justo debajo hay curva.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\exists }f(x)\}}}$
Encima de cualquier valor de $x$ hay curva: el dibujo no se interrumpe ni a la izquierda ni a la derecha.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}$
Y la función es continua donde el dibujo se puede recorrer sin levantar el lápiz. Aquí se recorre entera de un tirón, así que no hay que levantarlo en ningún momento y es continua en:
$\mathbb{R}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El recorrido son las alturas que alcanza la curva. Ahora se recorre el eje $Y$ y se mira si a esa altura hay dibujo en algún sitio.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{m}f=\{f(x)\mathrm{/}x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f\}}}$
La curva nunca baja del eje $X$: lo toca en dos puntos, que son sus dos picos de abajo, y desde ahí sube todo lo que se quiera. Así que alcanza la altura $0$ y todas las de encima:
$\mathrm{I}\mathrm{m}f=[0,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{c)}}$ Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la curva se pega disparándose hacia arriba o hacia abajo, sin llegar a tocarla. Aquí no hay ninguna: la curva no se dispara al acercarse a ninguna vertical, porque está definida en todas partes y no da ningún salto.
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la curva se pega cuando $x$ se va muy lejos, a la derecha o a la izquierda. Tampoco: al alejarse hacia los lados la curva sube sin parar y no se pega a ninguna recta horizontal. La función no tiene asíntotas.


$\mathbf{\text{d)}}$ La curva corta al eje $X$ donde su altura es $0$, y corta al eje $Y$ donde $x$ vale $0$.
$\boxed{{\displaystyle OX\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=0;OY\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=0}}$
La curva baja hasta tocar el eje $X$ en dos puntos, los dos picos, y cruza el eje $Y$ en lo alto de la joroba de en medio:
$(-1,0)\text{ y }(1,0)$
$(0,1)$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se lee recorriendo la curva de izquierda a derecha, como si se subiera andando por ella: donde va cuesta arriba, la función crece; donde va cuesta abajo, decrece.
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)}}$
Recorriendo el dibujo de izquierda a derecha: sube desde el pico de $x=-1$ hasta lo alto de la joroba, en $x=0$, y vuelve a subir desde el pico de $x=1$ sin parar. Crece en:
$(-1,0)\cup (1,\mathrm{\infty })$
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}}$
Y baja desde muy arriba hasta el pico de $x=-1$, y otra vez desde lo alto de la joroba hasta el pico de $x=1$:
$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (0,1)$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un máximo es un punto donde la curva deja de subir y empieza a bajar, así que allí está más alta que en los puntos de alrededor; un mínimo es al revés.
$\boxed{{\displaystyle \text{max en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\ge f(x)}}$
En $x=0$ la curva deja de subir y empieza a bajar: es lo alto de la joroba, más alta que todo lo que tiene al lado, aunque más lejos la curva suba mucho más. Es un máximo relativo:
$(0,1)$
$\boxed{{\displaystyle \text{min en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\le f(x)}}$
Y en los dos picos la curva deja de bajar y empieza a subir. Como no hay ningún punto del dibujo por debajo del eje $X$, son mínimos absolutos:
$(-1,0)\text{ y }(1,0)$


$\mathbf{\text{g)}}$ La tasa de variación media entre dos valores de $x$ dice cuánto sube o baja la función de media por cada unidad que avanza $x$: es la pendiente del segmento que une los dos puntos de la gráfica.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
En la gráfica se leen las cuatro alturas:
$f(-2)=3$
$f(-1)=0$
$f(0)=1$
$f(1)=0$
Y se sustituye en la definición:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[-2,-1]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(-1)-f(-2)}{-1-(-2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{0-3}{1}}=-3}\end{array}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[0,1]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(1)-f(0)}{1-0}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{0-1}{1}}=-1}\end{array}$