Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Observa la gráfica de la función $f$ y determina:










a) El dominio y la continuidad de la función.
b) El recorrido.
c) Las asíntotas verticales y horizontales.
d) Los puntos de corte con los ejes.
e) El crecimiento y el decrecimiento.
f) Los máximos y los mínimos.
g) La tasa de variación media en el intervalo [0, 2].

Aquí no hay nada que calcular: todo se lee en el dibujo. Lo único que hace falta es saber dónde mirar en cada apartado.

$\mathbf{\text{a)}}$ El dominio son los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto. Se lee recorriendo el eje $X$ y mirando si justo encima o justo debajo hay curva.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\exists }f(x)\}}}$
Encima de cualquier valor de $x$ hay un punto: en $x=4$, donde la curva tiene el círculo hueco, el valor lo da el punto lleno de más abajo.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}$
Y la función es continua donde el dibujo se puede recorrer sin levantar el lápiz. Solo hay que levantarlo en $x=4$, para bajar de la curva al punto suelto y volver a subir. Es continua en:
$\mathbb{R}-\{4\}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El recorrido son las alturas que alcanza la curva. Ahora se recorre el eje $Y$ y se mira si a esa altura hay dibujo en algún sitio.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{m}f=\{f(x)\mathrm{/}x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f\}}}$
Lo más bajo del dibujo es el pico de $(-2,-2)$, y esa altura se alcanza. Desde ahí la gráfica sube por los dos lados sin techo, así que pasa por todas las alturas de $-2$ para arriba:
$\mathrm{I}\mathrm{m}f=[-2,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{c)}}$ Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la curva se pega disparándose hacia arriba o hacia abajo, sin llegar a tocarla. No hay: la gráfica no se dispara al acercarse a ninguna vertical; en $x=4$ solo se descuelga hasta un punto concreto.
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la curva se pega cuando $x$ se va muy lejos, a la derecha o a la izquierda. Tampoco: por los dos lados la gráfica sigue subiendo, cada vez más despacio, pero sin quedarse en ninguna altura fija. La función no tiene asíntotas.


$\mathbf{\text{d)}}$ La curva corta al eje $X$ donde su altura es $0$, y corta al eje $Y$ donde $x$ vale $0$.
$\boxed{{\displaystyle OX\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=0;OY\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=0}}$
La gráfica cruza el eje $X$ dos veces, bajando en $x=-5$ y subiendo en $x=1$, y cruza el eje $Y$ una unidad por debajo del origen:
$(-5,0)\text{ y }(1,0)$
$(0,-1)$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se lee recorriendo la curva de izquierda a derecha, como si se subiera andando por ella: donde va cuesta arriba, la función crece; donde va cuesta abajo, decrece.
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)}}$
A partir del pico de $x=-2$ la gráfica sube sin volver a bajar, cada vez más despacio; el punto suelto de $x=4$ parte esa subida en dos:
$(-2,4)\cup (4,\mathrm{\infty })$
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}}$
Y antes del pico va cuesta abajo desde el principio:
$(-\mathrm{\infty },-2)$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un máximo es un punto donde la curva deja de subir y empieza a bajar, así que allí está más alta que en los puntos de alrededor; un mínimo es al revés.
La gráfica no deja de subir para empezar a bajar en ningún punto, así que no hay máximos.
$\boxed{{\displaystyle \text{min en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\le f(x)}}$
En el pico de $x=-2$ se acaba la bajada y empieza la subida, y además es el punto más bajo de todo el dibujo: mínimo absoluto. El punto suelto de $x=4$ queda por debajo de la curva que lo rodea, así que es un mínimo relativo:
$(-2,-2)\text{ y }(4,1)$


$\mathbf{\text{g)}}$ La tasa de variación media entre dos valores de $x$ dice cuánto sube o baja la función de media por cada unidad que avanza $x$: es la pendiente del segmento que une los dos puntos de la gráfica.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
En la gráfica se leen las dos alturas:
$f(0)=-1$
$f(2)=1$
Y se sustituye en la definición:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[0,2]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(2)-f(0)}{2-0}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1--1}{2}}=1}\end{array}$