Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Observa la gráfica de la función $f$ y determina:










a) El dominio y la continuidad de la función.
b) El recorrido.
c) Las asíntotas verticales y horizontales.
d) Los puntos de corte con los ejes.
e) El crecimiento y el decrecimiento.
f) Los máximos y los mínimos.
g) La tasa de variación media en los intervalos [2, 5] y [0, 1].

Aquí no hay nada que calcular: todo se lee en el dibujo. Lo único que hace falta es saber dónde mirar en cada apartado.

$\mathbf{\text{a)}}$ El dominio son los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto. Se lee recorriendo el eje $X$ y mirando si justo encima o justo debajo hay curva.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\exists }f(x)\}}}$
Encima de cualquier valor de $x$ hay un punto: a la izquierda de $1$ la recta, en $x=1$ el punto lleno de abajo, y a la derecha la rama curva.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}$
Y la función es continua donde el dibujo se puede recorrer sin levantar el lápiz. Aquí hay que levantarlo en $x=1$: la recta llega hasta el punto lleno de altura $-1$ y la rama curva arranca arriba, en el punto hueco de altura $1$. Es un escalón, así que es continua en:
$\mathbb{R}-\{1\}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El recorrido son las alturas que alcanza la curva. Ahora se recorre el eje $Y$ y se mira si a esa altura hay dibujo en algún sitio.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{m}f=\{f(x)\mathrm{/}x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f\}}}$
La recta baja hasta el punto lleno de altura $-1$, que es lo más bajo del dibujo, y hacia la izquierda sube sin fin; la rama curva empieza justo por encima de $1$ y también sube sin fin. Entre las dos pasan por todas las alturas desde $-1$ hacia arriba, y el $-1$ se alcanza:
$\mathrm{I}\mathrm{m}f=[-1,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{c)}}$ Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la curva se pega disparándose hacia arriba o hacia abajo, sin llegar a tocarla. Aquí no hay: en $x=1$ el dibujo da un escalón, pero no se dispara hacia arriba ni hacia abajo, así que esa vertical no es asíntota.
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la curva se pega cuando $x$ se va muy lejos, a la derecha o a la izquierda. Tampoco: hacia la izquierda la recta sube sin parar y hacia la derecha la rama curva sigue subiendo, así que no se pegan a ninguna horizontal. La función no tiene asíntotas.


$\mathbf{\text{d)}}$ La curva corta al eje $X$ donde su altura es $0$, y corta al eje $Y$ donde $x$ vale $0$.
$\boxed{{\displaystyle OX\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=0;OY\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=0}}$
La recta pasa justo por donde se cruzan los dos ejes, así que ese único punto sirve para los dos cortes. La rama curva se queda siempre por encima de la altura $1$ y no vuelve a tocar el eje $X$:
$(0,0)$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se lee recorriendo la curva de izquierda a derecha, como si se subiera andando por ella: donde va cuesta arriba, la función crece; donde va cuesta abajo, decrece.
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)}}$
A partir del escalón la rama curva sube sin parar, cada vez más despacio:
$(1,\mathrm{\infty })$
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}}$
Y antes del escalón la recta va cuesta abajo de principio a fin:
$(-\mathrm{\infty },1)$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un máximo es un punto donde la curva deja de subir y empieza a bajar, así que allí está más alta que en los puntos de alrededor; un mínimo es al revés.
La curva no deja de subir para empezar a bajar en ningún punto, así que no hay máximos.
$\boxed{{\displaystyle \text{min en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\le f(x)}}$
En cambio en $x=1$ se acaba la bajada y empieza la subida. Además ese punto lleno es el más bajo de todo el dibujo, así que es un mínimo absoluto:
$(1,-1)$


$\mathbf{\text{g)}}$ La tasa de variación media entre dos valores de $x$ dice cuánto sube o baja la función de media por cada unidad que avanza $x$: es la pendiente del segmento que une los dos puntos de la gráfica.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
En la gráfica se leen las cuatro alturas:
$f(2)=2$
$f(5)=3$
$f(0)=0$
$f(1)=-1$
Y se sustituye en la definición:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[2,5]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(5)-f(2)}{5-2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3-2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}}\end{array}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[0,1]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(1)-f(0)}{1-0}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-1-0}{1}}=-1}\end{array}$