Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Observa la gráfica de la función $f$ y determina:










a) El dominio y la continuidad de la función.
b) El recorrido.
c) Las asíntotas verticales y horizontales.
d) Los puntos de corte con los ejes.
e) El crecimiento y el decrecimiento.
f) Los máximos y los mínimos.
g) La tasa de variación media en los intervalos [0, 2] y [2, 4].

Aquí no hay nada que calcular: todo se lee en el dibujo. Lo único que hace falta es saber dónde mirar en cada apartado.

$\mathbf{\text{a)}}$ El dominio son los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto. Se lee recorriendo el eje $X$ y mirando si justo encima o justo debajo hay curva.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\exists }f(x)\}}}$
Sobre cualquier valor de $x$ hay un punto del dibujo: la rama de la izquierda, el punto lleno de $x=-2$, la recta que baja, la curva que sube y la recta final.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}$
Y la función es continua donde el dibujo se puede recorrer sin levantar el lápiz. Aquí solo hay que levantarlo en $x=-2$: la rama de la izquierda acaba en el punto hueco de altura $-\mathrm{0,5}$ y el trazo siguiente arranca arriba, en el punto lleno de altura $2$. Es continua en:
$\mathbb{R}-\{-2\}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El recorrido son las alturas que alcanza la curva. Ahora se recorre el eje $Y$ y se mira si a esa altura hay dibujo en algún sitio.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{m}f=\{f(x)\mathrm{/}x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f\}}}$
Lo más alto del dibujo es el pico de $(2,4)$, y esa altura se alcanza; a partir de ahí la recta final baja sin fondo, así que por debajo de $4$ pasa por todas las alturas:
$\mathrm{I}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },4]$


$\mathbf{\text{c)}}$ Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la curva se pega disparándose hacia arriba o hacia abajo, sin llegar a tocarla. No hay ninguna: el dibujo salta en $x=-2$, pero es un escalón, no un disparo hacia arriba o hacia abajo.
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la curva se pega cuando $x$ se va muy lejos, a la derecha o a la izquierda.
$\boxed{{\displaystyle \text{A.H.}\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=b}}$
La rama de la izquierda sí se va aplastando contra el eje $X$ conforme $x$ se aleja hacia la izquierda. Hacia la derecha no hay ninguna, porque la recta final baja sin parar:
$y=0$


$\mathbf{\text{d)}}$ La curva corta al eje $X$ donde su altura es $0$, y corta al eje $Y$ donde $x$ vale $0$.
$\boxed{{\displaystyle OX\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=0;OY\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=0}}$
El dibujo toca el eje $X$ en el valle de $x=0$ y vuelve a cruzarlo donde la recta final llega a la altura $0$, en $x=4$. Y como el valle está justo en el cruce de los ejes, ese mismo punto es el corte con el eje $Y$:
$(0,0)\text{ y }(4,0)$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se lee recorriendo la curva de izquierda a derecha, como si se subiera andando por ella: donde va cuesta arriba, la función crece; donde va cuesta abajo, decrece.
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)}}$
Solo sube en un tramo: desde el valle de $x=0$ hasta el pico de $x=2$.
$(0,2)$
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}}$
En todo lo demás va cuesta abajo: la rama de la izquierda, la recta que cae hasta el valle y la recta final. Como en $x=-2$ la gráfica pega un salto hacia arriba, el tramo de la izquierda se escribe partido en dos:
$(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,0)\cup (2,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un máximo es un punto donde la curva deja de subir y empieza a bajar, así que allí está más alta que en los puntos de alrededor; un mínimo es al revés.
$\boxed{{\displaystyle \text{max en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\ge f(x)}}$
El pico de $x=2$ es donde se acaba la subida y empieza la bajada, y además es el punto más alto de todo el dibujo: máximo absoluto. El punto lleno de $x=-2$ también está más alto que todo lo que tiene al lado, aunque el dibujo suba más lejos: máximo relativo.
$(2,4)\text{ y }(-2,2)$
$\boxed{{\displaystyle \text{min en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\le f(x)}}$
Y en el valle de $x=0$ se acaba la bajada y empieza la subida; es el punto más bajo de su entorno, aunque la recta final baje mucho más: mínimo relativo.
$(0,0)$


$\mathbf{\text{g)}}$ La tasa de variación media entre dos valores de $x$ dice cuánto sube o baja la función de media por cada unidad que avanza $x$: es la pendiente del segmento que une los dos puntos de la gráfica.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
En la gráfica se leen las tres alturas:
$f(0)=0$
$f(2)=4$
$f(4)=0$
Y se sustituye en la definición:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[0,2]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(2)-f(0)}{2-0}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4-0}{2}}=2}\end{array}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[2,4]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(4)-f(2)}{4-2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{0-4}{2}}=-2}\end{array}$