Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Observa la gráfica de la función $f$ y determina:










a) El dominio y la continuidad de la función.
b) El recorrido.
c) Las asíntotas verticales y horizontales.
d) Los puntos de corte con los ejes.
e) El crecimiento y el decrecimiento.
f) Los máximos y los mínimos.
g) La tasa de variación media en los intervalos [-1, 1] y [3, 4].

Aquí no hay nada que calcular: todo se lee en el dibujo. Lo único que hace falta es saber dónde mirar en cada apartado.

$\mathbf{\text{a)}}$ El dominio son los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto. Se lee recorriendo el eje $X$ y mirando si justo encima o justo debajo hay curva.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\exists }f(x)\}}}$
Sobre $x=-2$ y sobre $x=2$ los dos círculos son huecos: ahí la gráfica no tiene ningún punto. En todos los demás valores sí:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}-\{-2,2\}$
Y la función es continua donde el dibujo se puede recorrer sin levantar el lápiz. Hay que levantarlo en esos dos sitios, para saltar el escalón:
$\mathbb{R}-\{-2,2\}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El recorrido son las alturas que alcanza la curva. Ahora se recorre el eje $Y$ y se mira si a esa altura hay dibujo en algún sitio.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{m}f=\{f(x)\mathrm{/}x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f\}}}$
Lo más bajo del dibujo es el círculo hueco de $(-2,-6)$: como es hueco, la altura $-6$ no se alcanza, pero sí todas las de encima. La recta final se encarga de las alturas grandes:
$\mathrm{I}\mathrm{m}f=(-6,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{c)}}$ Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la curva se pega disparándose hacia arriba o hacia abajo, sin llegar a tocarla. No hay: en $x=-2$ y en $x=2$ la gráfica salta de golpe, pero los dos extremos del salto están a una altura concreta y marcada con su círculo, no se disparan.
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la curva se pega cuando $x$ se va muy lejos, a la derecha o a la izquierda.
$\boxed{{\displaystyle \text{A.H.}\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=b}}$
El trazo de la izquierda sí se va pegando al eje $X$ conforme $x$ se aleja hacia la izquierda. Hacia la derecha no hay ninguna, porque la recta final sube sin parar:
$y=0$


$\mathbf{\text{d)}}$ La curva corta al eje $X$ donde su altura es $0$, y corta al eje $Y$ donde $x$ vale $0$.
$\boxed{{\displaystyle OX\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=0;OY\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=0}}$
El trazo de en medio cruza el eje $X$ tres veces, y la de en medio de esas tres es justo el cruce de los dos ejes:
$(-1,0),(0,0)\text{ y }(1,0)$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se lee recorriendo la curva de izquierda a derecha, como si se subiera andando por ella: donde va cuesta arriba, la función crece; donde va cuesta abajo, decrece.
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)}}$
El trazo de en medio arranca abajo del todo y sube hasta la lomita que queda un poco a la izquierda del cero, en $x\approx -\mathrm{0,6}$; vuelve a subir desde el hoyito de $x\approx \mathrm{0,6}$ hasta el círculo hueco de arriba, y la recta final sigue subiendo. Crece en:
$(-2;-\mathrm{0,6})\cup (\mathrm{0,6};2)\cup (2,\mathrm{\infty })$
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}}$
Y baja en el trazo de la izquierda y en el pequeño tramo que va de la lomita al hoyito:
$(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-\mathrm{0,6};\mathrm{0,6})$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un máximo es un punto donde la curva deja de subir y empieza a bajar, así que allí está más alta que en los puntos de alrededor; un mínimo es al revés.
$\boxed{{\displaystyle \text{max en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\ge f(x)}}$
En la lomita la curva deja de subir y empieza a bajar. Cae entre dos rayas de la cuadrícula, así que se lee aproximado: máximo relativo en
$(-\mathrm{0,6};\mathrm{0,4})$
$\boxed{{\displaystyle \text{min en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\le f(x)}}$
Y en el hoyito deja de bajar y empieza a subir; también se lee aproximado: mínimo relativo en
$(\mathrm{0,6};-\mathrm{0,4})$


$\mathbf{\text{g)}}$ La tasa de variación media entre dos valores de $x$ dice cuánto sube o baja la función de media por cada unidad que avanza $x$: es la pendiente del segmento que une los dos puntos de la gráfica.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
En la gráfica se leen las cuatro alturas:
$f(-1)=0$
$f(1)=0$
$f(3)=3$
$f(4)=4$
Y se sustituye en la definición:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[-1,1]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{0-0}{2}}=0}\end{array}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[3,4]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(4)-f(3)}{4-3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4-3}{1}}=1}\end{array}$