Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Observa la gráfica de la función $f$ y determina:










a) El dominio y la continuidad de la función.
b) El recorrido.
c) Las asíntotas verticales y horizontales.
d) Los puntos de corte con los ejes.
e) El crecimiento y el decrecimiento.
f) Los máximos y los mínimos.
g) La tasa de variación media en el intervalo [4, 5].

Aquí no hay nada que calcular: todo se lee en el dibujo. Lo único que hace falta es saber dónde mirar en cada apartado.

$\mathbf{\text{a)}}$ El dominio son los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto. Se lee recorriendo el eje $X$ y mirando si justo encima o justo debajo hay curva.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\exists }f(x)\}}}$
Faltan tres valores: en $x=-1$ la gráfica se dispara hacia abajo por un lado y arranca con un círculo hueco por el otro, y en $x=1$ y en $x=3$ hay otros dos círculos huecos:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}-\{-1,1,3\}$
Y la función es continua donde el dibujo se puede recorrer sin levantar el lápiz. Hay que levantarlo en esos mismos tres sitios, así que es continua en:
$\mathbb{R}-\{-1,1,3\}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El recorrido son las alturas que alcanza la curva. Ahora se recorre el eje $Y$ y se mira si a esa altura hay dibujo en algún sitio.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{m}f=\{f(x)\mathrm{/}x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f\}}}$
Lo más alto del dibujo es el círculo hueco de $(3,4)$: como es hueco, la altura $4$ no llega a alcanzarse. Por debajo sí pasa por todas, porque el trazo de la izquierda se hunde sin fondo al acercarse a $x=-1$:
$\mathrm{I}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },4)$


$\mathbf{\text{c)}}$ Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la curva se pega disparándose hacia arriba o hacia abajo, sin llegar a tocarla.
$\boxed{{\displaystyle \text{A.V.}\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=a}}$
Junto a $x=-1$, por la izquierda, la curva cae sin fondo pegándose a esa vertical, que está marcada a trazos:
$x=-1$
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la curva se pega cuando $x$ se va muy lejos, a la derecha o a la izquierda.
$\boxed{{\displaystyle \text{A.H.}\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=b}}$
Y hay dos horizontales, una a cada lado: por la izquierda la curva se aplasta contra la altura $1$, y por la derecha la última rama baja pegándose al eje $X$ sin llegar a tocarlo:
$y=1\text{ y }y=0$


$\mathbf{\text{d)}}$ La curva corta al eje $X$ donde su altura es $0$, y corta al eje $Y$ donde $x$ vale $0$.
$\boxed{{\displaystyle OX\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=0;OY\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=0}}$
La curva cruza el eje $X$ una sola vez, en el trazo de la izquierda, entre $-2$ y $-\mathrm{1,5}$: se lee aproximadamente en $-\mathrm{1,75}$. Y cruza el eje $Y$ en lo alto del arco:
$(-\mathrm{1,75};0)$
$(0,2)$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se lee recorriendo la curva de izquierda a derecha, como si se subiera andando por ella: donde va cuesta arriba, la función crece; donde va cuesta abajo, decrece.
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)}}$
Sube en dos tramos: la primera mitad del arco, del círculo hueco de $x=-1$ hasta lo alto en $x=0$, y toda la rampa que va de $x=1$ al pico de $x=3$:
$(-1,0)\cup (1,3)$
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}}$
Y baja en el trazo de la izquierda, en la segunda mitad del arco y en la última rama, que cae hacia el eje $X$:
$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (0,1)\cup (3,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un máximo es un punto donde la curva deja de subir y empieza a bajar, así que allí está más alta que en los puntos de alrededor; un mínimo es al revés.
$\boxed{{\displaystyle \text{max en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\ge f(x)}}$
En $x=0$, lo alto del arco, la curva deja de subir y empieza a bajar: máximo relativo en
$(0,2)$
En $x=3$ el dibujo hace otro pico, pero el círculo es hueco: ahí la función no existe, así que no es un extremo; lo mismo pasa en $x=1$. Y no hay ningún punto donde la curva deje de bajar para empezar a subir, así que no hay mínimos.


$\mathbf{\text{g)}}$ La tasa de variación media entre dos valores de $x$ dice cuánto sube o baja la función de media por cada unidad que avanza $x$: es la pendiente del segmento que une los dos puntos de la gráfica.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
En la gráfica se leen las dos alturas:
$f(4)=2$
$f(5)=1$
Y se sustituye en la definición:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[4,5]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(5)-f(4)}{5-4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-2}{1}}=-1}\end{array}$