Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Observa la gráfica de la función $f$ y determina:










a) El dominio y la continuidad de la función.
b) El recorrido.
c) Las asíntotas verticales y horizontales.
d) Los puntos de corte con los ejes.
e) El crecimiento y el decrecimiento.
f) Los máximos y los mínimos.

Aquí no hay nada que calcular: todo se lee en el dibujo. Lo único que hace falta es saber dónde mirar en cada apartado.

$\mathbf{\text{a)}}$ El dominio son los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto. Se lee recorriendo el eje $X$ y mirando si justo encima o justo debajo hay curva.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\exists }f(x)\}}}$
El dibujo se dispara a los dos lados de $x=-1$ y de $x=1$, y justo sobre esas dos verticales no hay ningún punto:
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}-\{-1,1\}$
Y la función es continua donde el dibujo se puede recorrer sin levantar el lápiz. Aquí hay que levantarlo dos veces, para saltar de una rama a la siguiente:
$\mathbb{R}-\{-1,1\}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El recorrido son las alturas que alcanza la curva. Ahora se recorre el eje $Y$ y se mira si a esa altura hay dibujo en algún sitio.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{m}f=\{f(x)\mathrm{/}x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f\}}}$
Las dos ramas de fuera bajan desde muy arriba hasta rozar el eje $X$, así que entre ellas pasan por todas las alturas mayores que $0$. La rama de en medio sube desde muy abajo hasta su punto más alto, que está en $(0,-1)$, así que cubre las alturas hasta $-1$ incluida. Entre $-1$ y $0$ no hay dibujo a ninguna altura:
$\mathrm{I}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },-1]\cup (0,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{c)}}$ Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la curva se pega disparándose hacia arriba o hacia abajo, sin llegar a tocarla.
$\boxed{{\displaystyle \text{A.V.}\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=a}}$
Hay dos rectas así, marcadas a trazos: junto a ellas la rama de en medio se hunde y las de fuera se disparan hacia arriba:
$x=-1\text{ y }x=1$
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la curva se pega cuando $x$ se va muy lejos, a la derecha o a la izquierda.
$\boxed{{\displaystyle \text{A.H.}\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=b}}$
Las dos ramas de fuera se van aplastando contra el eje $X$ conforme $x$ se aleja, por la derecha y por la izquierda:
$y=0$


$\mathbf{\text{d)}}$ La curva corta al eje $X$ donde su altura es $0$, y corta al eje $Y$ donde $x$ vale $0$.
$\boxed{{\displaystyle OX\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=0;OY\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=0}}$
Con el eje $X$ no hay corte: las ramas de fuera se le acercan desde arriba pero no lo tocan, y la de en medio se queda siempre por debajo de $-1$. Con el eje $Y$ corta en el punto más alto de la rama de en medio:
$(0,-1)$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se lee recorriendo la curva de izquierda a derecha, como si se subiera andando por ella: donde va cuesta arriba, la función crece; donde va cuesta abajo, decrece.
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)}}$
Recorriendo de izquierda a derecha: la rama de la izquierda sube desde el eje $X$ hasta perderse en $x=-1$, y la de en medio vuelve a subir desde muy abajo hasta lo más alto que llega, en $x=0$. Crece, pues, en:
$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,0)$
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}}$
A partir de $x=0$ la rama de en medio baja hasta perderse en $x=1$, y la de la derecha baja desde muy arriba hacia el eje $X$:
$(0,1)\cup (1,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un máximo es un punto donde la curva deja de subir y empieza a bajar, así que allí está más alta que en los puntos de alrededor; un mínimo es al revés.
$\boxed{{\displaystyle \text{max en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\ge f(x)}}$
En $x=0$ la rama de en medio deja de subir y empieza a bajar: es el punto más alto de esa rama, aunque quede por debajo del eje $X$. Es un máximo relativo:
$(0,-1)$
Ninguna de las tres ramas deja de bajar para volver a subir, así que no hay mínimos.