Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Observa la gráfica de la función $f$ y determina:










a) El dominio y la continuidad de la función.
b) El recorrido.
c) Las asíntotas verticales y horizontales.
d) Los puntos de corte con los ejes.
e) El crecimiento y el decrecimiento.
f) Los máximos y los mínimos.
g) La tasa de variación media en el intervalo [2, 3].

Aquí no hay nada que calcular: todo se lee en el dibujo. Lo único que hace falta es saber dónde mirar en cada apartado.

$\mathbf{\text{a)}}$ El dominio son los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto. Se lee recorriendo el eje $X$ y mirando si justo encima o justo debajo hay curva.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\exists }f(x)\}}}$
Encima de cualquier valor de $x$ hay un punto: donde el trazo se corta, en $x=-2$ y en $x=1$, siempre queda un círculo lleno que da el valor.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}$
Y la función es continua donde el dibujo se puede recorrer sin levantar el lápiz. Hay que levantarlo dos veces: en $x=-2$, donde la gráfica cae de golpe de la altura $3$ a la $0$, y en $x=1$, donde el valor se sale de la curva y baja al punto suelto de altura $2$. Es continua en:
$\mathbb{R}-\{-2,1\}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El recorrido son las alturas que alcanza la curva. Ahora se recorre el eje $Y$ y se mira si a esa altura hay dibujo en algún sitio.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{m}f=\{f(x)\mathrm{/}x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f\}}}$
Lo más alto del dibujo es la altura $4$, y se alcanza dos veces: en lo alto de la primera joroba y en $x=0$. Hacia abajo, la primera parábola cae sin fondo por la izquierda, así que pasa por todas las alturas menores:
$\mathrm{I}\mathrm{m}f=(-\mathrm{\infty },4]$


$\mathbf{\text{c)}}$ Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la curva se pega disparándose hacia arriba o hacia abajo, sin llegar a tocarla. No hay: los dos cortes del dibujo son escalones entre alturas concretas, no disparos hacia arriba o hacia abajo.
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la curva se pega cuando $x$ se va muy lejos, a la derecha o a la izquierda.
$\boxed{{\displaystyle \text{A.H.}\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=b}}$
Por la derecha sí: la última rama baja acercándose cada vez más a la altura $1$ sin llegar a ella. Por la izquierda no hay ninguna, porque la primera parábola cae sin parar:
$y=1$


$\mathbf{\text{d)}}$ La curva corta al eje $X$ donde su altura es $0$, y corta al eje $Y$ donde $x$ vale $0$.
$\boxed{{\displaystyle OX\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=0;OY\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=0}}$
La primera parábola sube cruzando el eje $X$ en $x=-5$, y el trazo siguiente arranca justo sobre el eje, en el círculo lleno de $x=-2$. El eje $Y$ lo cruza en lo alto de la segunda joroba:
$(-5,0)\text{ y }(-2,0)$
$(0,4)$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se lee recorriendo la curva de izquierda a derecha, como si se subiera andando por ella: donde va cuesta arriba, la función crece; donde va cuesta abajo, decrece.
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)}}$
Sube en tres tramos: la primera parábola hasta su joroba en $x=-3$, el trozo que va del círculo lleno de $x=-2$ hasta $x=0$, y la subida del valle de $x=2$ al pico de $x=3$:
$(-\mathrm{\infty },-3)\cup (-2,0)\cup (2,3)$
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}}$
Y baja de la primera joroba al corte de $x=-2$, desde $x=0$ hasta el valle de $x=2$ (partido en dos por el punto suelto de $x=1$) y en la última rama:
$(-3,-2)\cup (0,1)\cup (1,2)\cup (3,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un máximo es un punto donde la curva deja de subir y empieza a bajar, así que allí está más alta que en los puntos de alrededor; un mínimo es al revés.
$\boxed{{\displaystyle \text{max en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\ge f(x)}}$
Las dos jorobas llegan a la altura $4$, que es la mayor de todo el dibujo: son máximos absolutos. El pico de $x=3$ solo es el más alto de su entorno: máximo relativo.
$(-3,4)\text{ y }(0,4)$
$(3,3)$
$\boxed{{\displaystyle \text{min en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\le f(x)}}$
Y hay tres puntos donde se acaba una bajada: el círculo lleno de $x=-2$, el punto suelto de $x=1$ —que queda por debajo de la curva que lo rodea— y el valle de $x=2$. Los tres son mínimos relativos:
$(-2,0),(1,2)\text{ y }(2,2)$


$\mathbf{\text{g)}}$ La tasa de variación media entre dos valores de $x$ dice cuánto sube o baja la función de media por cada unidad que avanza $x$: es la pendiente del segmento que une los dos puntos de la gráfica.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
En la gráfica se leen las dos alturas:
$f(2)=2$
$f(3)=3$
Y se sustituye en la definición:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[2,3]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(3)-f(2)}{3-2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3-2}{1}}=1}\end{array}$