Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Observa la gráfica de la función $f$ y determina:










a) El dominio y la continuidad de la función.
b) El recorrido.
c) Las asíntotas verticales y horizontales.
d) Los puntos de corte con los ejes.
e) El crecimiento y el decrecimiento.
f) Los máximos y los mínimos.
g) La tasa de variación media en el intervalo [-1, 2].

Aquí no hay nada que calcular: todo se lee en el dibujo. Lo único que hace falta es saber dónde mirar en cada apartado.

$\mathbf{\text{a)}}$ El dominio son los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto. Se lee recorriendo el eje $X$ y mirando si justo encima o justo debajo hay curva.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\exists }f(x)\}}}$
Encima de cualquier valor de $x$ hay un punto: en $x=\mathrm{5,5}$ y en $x=\mathrm{6,5}$, donde la curva tiene un círculo hueco, el valor lo da el punto lleno que hay más arriba o más abajo.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}$
Y la función es continua donde el dibujo se puede recorrer sin levantar el lápiz. Hay que levantarlo dos veces, en $x=\mathrm{5,5}$ y en $x=\mathrm{6,5}$, para ir a buscar esos dos puntos sueltos. Es continua en:
$\mathbb{R}-\{\mathrm{5,5};\mathrm{6,5}\}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El recorrido son las alturas que alcanza la curva. Ahora se recorre el eje $Y$ y se mira si a esa altura hay dibujo en algún sitio.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{m}f=\{f(x)\mathrm{/}x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f\}}}$
Lo más bajo del dibujo es el valle de $(2,-1)$, con su círculo lleno, así que la altura $-1$ se alcanza. A partir de ahí la curva sube sin techo, y hacia la izquierda se queda entre $2$ y $3$, alturas que ya están cubiertas:
$\mathrm{I}\mathrm{m}f=[-1,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{c)}}$ Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la curva se pega disparándose hacia arriba o hacia abajo, sin llegar a tocarla. No hay: la gráfica no se dispara junto a ninguna vertical; en $x=\mathrm{5,5}$ y en $x=\mathrm{6,5}$ solo se sale de la curva para ir a un punto concreto.
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la curva se pega cuando $x$ se va muy lejos, a la derecha o a la izquierda.
$\boxed{{\displaystyle \text{A.H.}\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=b}}$
Por la izquierda sí: la rama se va aplanando y se pega a la altura $3$ sin llegar a ella. Por la derecha no hay ninguna, porque la curva sube sin parar:
$y=3$


$\mathbf{\text{d)}}$ La curva corta al eje $X$ donde su altura es $0$, y corta al eje $Y$ donde $x$ vale $0$.
$\boxed{{\displaystyle OX\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=0;OY\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=0}}$
La gráfica cruza el eje $X$ dos veces: bajando en $x=1$ y subiendo un poco después de $x=4$, que se lee aproximadamente en $\mathrm{4,2}$. Y cruza el eje $Y$ una unidad por encima del origen:
$(1,0)\text{ y }(\mathrm{4,2};0)$
$(0,1)$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se lee recorriendo la curva de izquierda a derecha, como si se subiera andando por ella: donde va cuesta arriba, la función crece; donde va cuesta abajo, decrece.
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)}}$
A partir del valle de $x=2$ la gráfica sube sin volver a bajar; los dos puntos sueltos parten esa subida:
$(2,\mathrm{\infty })-\{\mathrm{5,5};\mathrm{6,5}\}$
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}}$
Y antes del valle va cuesta abajo desde el principio, primero muy despacio y luego en línea recta:
$(-\mathrm{\infty },2)$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un máximo es un punto donde la curva deja de subir y empieza a bajar, así que allí está más alta que en los puntos de alrededor; un mínimo es al revés.
$\boxed{{\displaystyle \text{max en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\ge f(x)}}$
El punto suelto de $x=\mathrm{5,5}$ está por encima de la curva que lo rodea, así que es más alto que todo lo que tiene al lado: máximo relativo en
$(\mathrm{5,5};3)$
$\boxed{{\displaystyle \text{min en }a\text{\hspace{0.17em}⁣}:f(a)\le f(x)}}$
El valle de $x=2$ es el punto más bajo de todo el dibujo: mínimo absoluto. Y el punto suelto de $x=\mathrm{6,5}$ queda por debajo de la curva: mínimo relativo.
$(2,-1)\text{ y }(\mathrm{6,5};\mathrm{1,5})$


$\mathbf{\text{g)}}$ La tasa de variación media entre dos valores de $x$ dice cuánto sube o baja la función de media por cada unidad que avanza $x$: es la pendiente del segmento que une los dos puntos de la gráfica.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
En la gráfica se leen las dos alturas:
$f(-1)=2$
$f(2)=-1$
Y se sustituye en la definición:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[-1,2]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-1-2}{3}}=-1}\end{array}$