Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Observa la gráfica de la función $f$ y determina:










a) El dominio y la continuidad de la función.
b) El recorrido.
c) Las asíntotas verticales y horizontales.
d) Los puntos de corte con los ejes.
e) El crecimiento y el decrecimiento.
f) Los máximos y los mínimos.
g) La tasa de variación media en el intervalo [2, 3].

Aquí no hay nada que calcular: todo se lee en el dibujo. Lo único que hace falta es saber dónde mirar en cada apartado.

$\mathbf{\text{a)}}$ El dominio son los valores de $x$ para los que la gráfica tiene un punto. Se lee recorriendo el eje $X$ y mirando si justo encima o justo debajo hay curva.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\mathrm{\exists }f(x)\}}}$
Hay curva encima o debajo de todos los valores de $x$ menos de $x=1$: al acercarse a esa vertical el dibujo se dispara, y justo ahí no hay ningún punto.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f=\mathbb{R}-\{1\}$
Y la función es continua donde el dibujo se puede recorrer sin levantar el lápiz. Aquí solo hay que levantarlo para saltar de la rama de la izquierda a la de la derecha, así que es continua en todo su dominio:
$\mathbb{R}-\{1\}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El recorrido son las alturas que alcanza la curva. Ahora se recorre el eje $Y$ y se mira si a esa altura hay dibujo en algún sitio.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{m}f=\{f(x)\mathrm{/}x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}f\}}}$
La rama de la derecha baja desde muy arriba hasta rozar el eje $X$, así que pasa por todas las alturas positivas; la de la izquierda hace lo mismo con las negativas. La única altura que no toca el dibujo es la $0$, porque la curva se acerca al eje $X$ pero no lo cruza:
$\mathrm{I}\mathrm{m}f=\mathbb{R}-\{0\}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Una asíntota vertical es una recta vertical a la que la curva se pega disparándose hacia arriba o hacia abajo, sin llegar a tocarla.
$\boxed{{\displaystyle \text{A.V.}\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=a}}$
Junto a $x=1$ pasa exactamente eso: por la izquierda la curva baja sin fondo y por la derecha sube sin techo. Es la recta a trazos del dibujo:
$x=1$
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que la curva se pega cuando $x$ se va muy lejos, a la derecha o a la izquierda.
$\boxed{{\displaystyle \text{A.H.}\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=b}}$
Al irse hacia la derecha la curva baja hacia el eje $X$, y al irse hacia la izquierda sube hacia él, sin llegar a tocarlo:
$y=0$


$\mathbf{\text{d)}}$ La curva corta al eje $X$ donde su altura es $0$, y corta al eje $Y$ donde $x$ vale $0$.
$\boxed{{\displaystyle OX\text{\hspace{0.17em}⁣}:y=0;OY\text{\hspace{0.17em}⁣}:x=0}}$
Con el eje $X$ no hay corte: la curva se le acerca por los dos lados pero no lo cruza en ningún sitio. Con el eje $Y$ sí, y se lee que lo cruza a la altura $-1$:
$(0,-1)$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se lee recorriendo la curva de izquierda a derecha, como si se subiera andando por ella: donde va cuesta arriba, la función crece; donde va cuesta abajo, decrece.
$\boxed{{\displaystyle x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}}$
Los dos trozos van cuesta abajo de principio a fin: el de la izquierda baja hasta perderse en $x=1$ y el de la derecha vuelve a empezar arriba del todo y sigue bajando. No sube en ningún tramo, así que decrece en:
$(-\mathrm{\infty },1)\cup (1,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{f)}}$ Un máximo es un punto donde la curva deja de subir y empieza a bajar, así que allí está más alta que en los puntos de alrededor; un mínimo es al revés. Aquí la curva no cambia de sentido en ningún punto, porque siempre baja, así que no tiene ni máximos ni mínimos.


$\mathbf{\text{g)}}$ La tasa de variación media entre dos valores de $x$ dice cuánto sube o baja la función de media por cada unidad que avanza $x$: es la pendiente del segmento que une los dos puntos de la gráfica.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[a,b]={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}}$
En la gráfica se leen las dos alturas:
$f(2)=1$
$f(3)=\mathrm{0,5}$
Y se sustituye en la definición:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{M}[2,3]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{f(3)-f(2)}{3-2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}-1}{1}}=-\mathrm{0,5}}\end{array}$