Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Se sabe que A y B son dos sucesos cuyas probabilidades son:
$P(A)=\mathrm{0,7}P(B)=\mathrm{0,5}P(A\cup B)=\mathrm{0,75}$
Calcular $P(B\mathrm{/}A)$ y $P(\bar{A}\cap \bar{B})$.

Nos dan la unión pero no la intersección, y las dos cosas que se piden la necesitan: la condicionada lleva la lente común en el numerador, y «ni A ni B» es el contrario de la unión. Así que el primer paso, común a las dos preguntas, es despejar la intersección.

De la regla de la unión se despeja la lente común, que es el único dato que falta:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(A\cap B)=\mathrm{0,7}+\mathrm{0,5}-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,45}$
La primera pregunta condiciona a que haya ocurrido A: se cuenta solo dentro de A, y de B solo la parte que comparte con él.
$\boxed{{\displaystyle P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}}}$
$P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,45}}{\mathrm{0,7}}}={\displaystyle \frac{9}{14}}\approx \mathrm{0,6429}$
La segunda pregunta, «ni A ni B», es por la ley de De Morgan el contrario de la unión, que ya nos daban:
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}$

De cada diez veces que ocurre A, en algo más de seis ocurre también B (un 64,29 %); y una de cada cuatro veces no ocurre ninguno de los dos.