Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Lanzamos dos dados y sumamos los puntos. Calcula:

a) El espacio muestral.
b) Probabilidad de que la suma sea 5.
c) De que la suma sea par.
d) De que sea menor que 6.
e) De que la suma sea 1.
f) De que sea 12.

Los dos dados se lanzan a la vez y son independientes: el primero puede dar seis resultados y el segundo otros seis, así que hay 36 parejas posibles y todas tienen la misma probabilidad. Ojo, porque es el error típico de este ejercicio: las once sumas NO son igual de probables, de modo que la regla de Laplace se aplica sobre las 36 parejas, nunca sobre las once sumas.

En esta tabla está la suma de cada una de las $6\cdot 6=36$ parejas: a la izquierda, el primer dado; arriba, el segundo.

$+$	1	2	3	4	5	6 1	2	3	4	5	6	7 2	3	4	5	6	7	8 3	4	5	6	7	8	9 4	5	6	7	8	9	10 5	6	7	8	9	10	11 6	7	8	9	10	11	12

$\mathbf{\text{a)}}$ El espacio muestral del experimento «sumar los puntos» son las sumas que se pueden obtener, desde $1+1=2$ hasta $6+6=12$:
$E=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$
Once resultados posibles, aunque, como se ve en la tabla, no igual de probables.


$\mathbf{\text{b)}}$ En la tabla hay 4 parejas que suman 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2) y (4, 1). Se cuentan sobre el total de parejas:
$\boxed{{\displaystyle P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}}}$
$P(\text{suma}=5)={\displaystyle \frac{4}{36}}$
$={\displaystyle \frac{1}{9}}\approx \mathrm{0,1111}$
La suma 5 sale en el 11,11 % de los lanzamientos.


$\mathbf{\text{c)}}$ Las sumas pares son 2, 4, 6, 8, 10 y 12. Contando en la tabla las parejas de cada una:
$1+3+5+5+3+1=18$
y esas 18 parejas se cuentan sobre las 36:
$P(\text{suma par})={\displaystyle \frac{18}{36}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$
Sale par la mitad de las veces, el 50 %.


$\mathbf{\text{d)}}$ Menor que 6 quiere decir 2, 3, 4 o 5, y en la tabla hay 1, 2, 3 y 4 parejas de cada una:
$1+2+3+4=10$
$P(\text{suma}<6)={\displaystyle \frac{10}{36}}$
$={\displaystyle \frac{5}{18}}\approx \mathrm{0,2778}$
La suma es menor que 6 en el 27,78 % de los lanzamientos.


$\mathbf{\text{e)}}$ Con dos dados la suma más pequeña es 2, así que ninguna de las 36 parejas suma 1:
$P(\text{suma}=1)={\displaystyle \frac{0}{36}}=0$
Es un suceso IMPOSIBLE, y los sucesos imposibles tienen probabilidad 0.


$\mathbf{\text{f)}}$ La suma 12 solo se consigue con una pareja, la (6, 6):
$P(\text{suma}=12)={\displaystyle \frac{1}{36}}\approx \mathrm{0,0278}$
Es la suma más difícil junto con el 2: sale una vez de cada 36, el 2,78 %.