Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

En una urna hay bolas: 4 blancas, 2 rojas y 3 azules. Se extraen tres bolas que resultan ser 2 blancas y una roja. A continuación se extrae otra bola. Hazlo de dos formas: Suponiendo que las extracciones han sido con reemplazamiento y sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que dicha bola sea:

a) Blanca.
b) Roja.
c) Azul.

El enunciado se contradice consigo mismo, y hay que decirlo antes de calcular nada: cuenta lo que salió en las tres primeras extracciones y a la vez pide resolverlo CON reemplazamiento. Si cada bola se devuelve, la urna vuelve a tener siempre las mismas 9 bolas y lo que haya salido antes no influye en la cuarta extracción: el dato de las tres primeras bolas es entonces irrelevante. SIN reemplazamiento sí influye, porque esas tres bolas ya no están en la urna. Se resuelven las dos lecturas.

Al principio hay $4+2+3=9$ bolas. Llamamos B a «sale blanca», R a «sale roja» y A a «sale azul».
Sin reemplazamiento se han ido 2 blancas y 1 roja, así que quedan $4-2=2$ blancas, $2-1=1$ roja y 3 azules, en total $2+1+3=6$ bolas.


$\mathbf{\text{a)}}$ Todas las bolas de la urna tienen la misma probabilidad de salir, así que en las dos lecturas se cuenta con la regla de Laplace; lo único que cambia es cuántas bolas hay.
CON REEMPLAZAMIENTO la urna vuelve a tener siempre las mismas 9 bolas, y 4 de ellas son blancas:
$\boxed{{\displaystyle P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}}}$
$P(B)={\displaystyle \frac{4}{9}}\approx \mathrm{0,4444}$
SIN REEMPLAZAMIENTO quedan 6 bolas, de las cuales 2 son blancas:
$P(B)={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx \mathrm{0,3333}$
Devolviendo las bolas sale blanca el 44,44 % de las veces; sin devolverlas, el 33,33 %.


$\mathbf{\text{b)}}$ CON REEMPLAZAMIENTO la urna vuelve a tener siempre las mismas 9 bolas, y 2 de ellas son rojas:
$P(R)={\displaystyle \frac{2}{9}}\approx \mathrm{0,2222}$
SIN REEMPLAZAMIENTO quedan 6 bolas, de las cuales una es roja:
$P(R)={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$
Devolviendo las bolas sale roja el 22,22 % de las veces; sin devolverlas, el 16,67 %.


$\mathbf{\text{c)}}$ CON REEMPLAZAMIENTO la urna vuelve a tener siempre las mismas 9 bolas, y 3 de ellas son azules:
$P(A)={\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx \mathrm{0,3333}$
SIN REEMPLAZAMIENTO quedan 6 bolas, de las cuales 3 son azules:
$P(A)={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$
Devolviendo las bolas sale azul el 33,33 % de las veces; sin devolverlas, el 50 %.