Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

La probabilidad de que me sepa una pregunta en un examen es de 1/3. Si en el examen me ponen tres preguntas para elegir una ¿ Qué probabilidad tengo de aprobar?

El enunciado no dice qué hace falta para aprobar, así que hay que decir la lectura antes de calcular: como solo hay que contestar UNA de las tres preguntas, se aprueba si se sabe AL MENOS UNA de ellas. Suponemos además que las tres preguntas son independientes entre sí y que cada una se sabe con probabilidad 1/3. Con «al menos una» el camino corto es el contrario: se calcula la probabilidad de no saberse ninguna y se resta de 1.

Llamamos $S_1$, $S_2$ y $S_3$ a los sucesos «me sé la primera pregunta», «me sé la segunda» y «me sé la tercera». Del enunciado, $P(S_1)=P(S_2)=P(S_3)={\displaystyle \frac{1}{3}}$.


No saberse una pregunta es lo contrario de sabérsela:
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\overline{S_1})=1-P(S_1)=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
Las tres preguntas son independientes, así que la probabilidad de no saberse ninguna de las tres es el producto de las tres probabilidades:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}}$
$P(\overline{S_1}\cap \overline{S_2}\cap \overline{S_3})$
$=P(\overline{S_1})\cdot P(\overline{S_2})\cdot P(\overline{S_3})$
$={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{27}}$
Y aprobar es lo contrario de no saberse ninguna:
$P(\text{aprobar})=1-{\displaystyle \frac{8}{27}}$
$={\displaystyle \frac{19}{27}}\approx \mathrm{0,7037}$
Se aprueba en algo más de siete de cada diez exámenes: el 70,37 %. Con una sola pregunta se aprobaría el 33,33 %, así que poder elegir entre tres ayuda mucho.