Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Una caja contiene 20 bombillas, 5 de las cuales están fundidas. Sacamos dos al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Ambas estén fundidas.
b) Al menos una funcione.
c) Funcionen las dos.

De las 20 bombillas, 5 están fundidas y las otras 15 funcionan. Se sacan DOS y en ningún sitio se dice que la primera se devuelva a la caja, así que es SIN REEMPLAZAMIENTO: en la segunda extracción quedan 19 bombillas, una menos de la clase que haya salido primero. En el apartado b), «al menos una» se hace por el suceso contrario.

Funcionan $20-5=15$ bombillas. Llamamos $F_1$ al suceso «la primera bombilla está fundida» y $F_2$ a lo mismo con la segunda.


$\mathbf{\text{a)}}$ La probabilidad de que la primera esté fundida es 5 de 20; una vez sacada esa, quedan 19 bombillas y 4 fundidas, así que la de la segunda es 4 de 19. Como la segunda depende de lo que haya salido en la primera, las probabilidades se multiplican así:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mathrm{/}A)}}$
$P(F_1\cap F_2)=P(F_1)\cdot P(F_2\mathrm{/}{F}_1)$
$={\displaystyle \frac{5}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{19}}={\displaystyle \frac{20}{380}}$
$={\displaystyle \frac{1}{19}}\approx \mathrm{0,0526}$
Las dos salen fundidas el 5,26 % de las veces: poco más de una de cada veinte parejas.


$\mathbf{\text{b)}}$ Que al menos una funcione es justo lo contrario de que las dos estén fundidas, que es lo que se acaba de calcular en el apartado a). En vez de contar los casos con una o dos bombillas buenas, se resta de 1:
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\overline{F_1}\cup \overline{F_2})=1-P(F_1\cap F_2)$
$=1-{\displaystyle \frac{1}{19}}={\displaystyle \frac{18}{19}}\approx \mathrm{0,9474}$
Casi siempre funciona alguna de las dos: el 94,74 % de las veces.


$\mathbf{\text{c)}}$ Que funcionen las dos es que las dos estén buenas: 15 de 20 en la primera extracción y, quitando esa, 14 de 19 en la segunda.
$P(\overline{F_1}\cap \overline{F_2})=P(\overline{F_1})\cdot P(\overline{F_2}\mathrm{/}\overline{F_1})$
$={\displaystyle \frac{15}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{14}{19}}={\displaystyle \frac{210}{380}}$
$={\displaystyle \frac{21}{38}}\approx \mathrm{0,5526}$
Las dos funcionan el 55,26 % de las veces, algo más de la mitad.