Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

¿ Cuál es la probabilidad de con cinco cartas de una baraja de 52 cartas de tener:

a) ¿Un trio de ases?
b) ¿Y un trio cualquiera?
c) ¿Y un póquer de damas?
d) ¿Y un póquer cualquiera?

Se reparten cinco cartas de una baraja de 52 y no importa el orden en que llegan: cada mano es una COMBINACIÓN de 52 cartas tomadas de 5 en 5. En los cuatro apartados se cuentan las manos favorables y se dividen entre todas las manos posibles. Entendemos «trio» como tener exactamente tres cartas del mismo valor, y las otras dos son dos cualesquiera de las 48 que quedan; y «póquer», como tener las cuatro cartas de un mismo valor más una quinta carta cualquiera.

La baraja de 52 cartas tiene trece valores (as, dos, tres, …, rey) y cuatro cartas de cada valor, una por palo. Llamamos A al suceso «trio de ases», B a «trio cualquiera», C a «póquer de damas» y D a «póquer cualquiera».


$\mathbf{\text{a)}}$ Primero, cuántas manos hay: cinco cartas de 52, sin que importe el orden.
$\boxed{{\displaystyle C_{m,n}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{n}\right)}={\displaystyle \frac{m!}{n!(m-n)!}}}}$
$C_{52,5}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{52}{5}\right)}={\displaystyle \frac{52!}{5!47!}}$
$=\mathrm{2.598.960}$
Ahora las favorables. Hay que elegir tres de los cuatro ases y, para que sean exactamente tres, las otras dos cartas se eligen entre las 48 que no son ases:
$C_{4,3}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{3}\right)}={\displaystyle \frac{4!}{3!1!}}=4$
$C_{48,2}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{48}{2}\right)}={\displaystyle \frac{48!}{2!46!}}=1128$
Cada elección de ases se puede acompañar de cualquiera de esas parejas, así que las manos favorables son el producto de las dos cuentas:
$4\cdot 1128=4512$
y ya se pueden contar sobre el total:
$\boxed{{\displaystyle P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}}}$
$P(A)={\displaystyle \frac{4512}{\mathrm{2.598.960}}}={\displaystyle \frac{94}{54.145}}$
Sale un trio de ases el 0,1736 % de las manos: unas 17 de cada 10.000.


$\mathbf{\text{b)}}$ Un trio cualquiera es lo mismo que el apartado a) pero con cualquiera de los trece valores de la baraja, no solo con los ases. Por cada valor hay las mismas 4512 manos:
$13\cdot 4512=58656$
$P(B)={\displaystyle \frac{58.656}{\mathrm{2.598.960}}}={\displaystyle \frac{94}{4165}}$
Sale un trio el 2,2569 % de las manos: unas 23 de cada 1000.


$\mathbf{\text{c)}}$ Las cuatro damas se cogen de una única forma, porque son las cuatro que hay, y la quinta carta puede ser cualquiera de las 48 restantes:
$1\cdot 48=48$
$P(C)={\displaystyle \frac{48}{\mathrm{2.598.960}}}={\displaystyle \frac{1}{54.145}}$
Un póquer de damas sale el 0,00185 % de las manos: menos de dos veces de cada cien mil.


$\mathbf{\text{d)}}$ Para un póquer cualquiera valen los trece valores, y por cada uno hay las mismas 48 manos:
$13\cdot 48=624$
$P(D)={\displaystyle \frac{624}{\mathrm{2.598.960}}}={\displaystyle \frac{1}{4165}}$
Sale un póquer el 0,024 % de las manos: unas dos de cada diez mil, trece veces más que el póquer de damas.