Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

En una clase hay 30 alumnos y el número de los que llevan gafas viene dado por:

	Chicos	Chicas	Total Con gafas	5	4	9 Sin gafas	9	12	21 Total	14	16	30

Elegimos una persona al azar. Calcula la probabilidad de que :

a) Leve gafas.
b) Sea chica sin gafas.
c) Sea chico con gafas.
d) No lleve gafas siendo chica.

La tabla reparte a los 30 alumnos en cuatro grupos según dos cosas a la vez: si son chicos o chicas y si llevan gafas o no. Se elige UNA persona al azar entre las 30, y todas tienen la misma probabilidad. Ojo con el apartado d): «siendo chica» reduce el grupo del que se elige, y eso lo convierte en una probabilidad condicionada; los demás se cuentan sobre los 30.

Llamamos H al suceso «es chico», M a «es chica» y G a «lleva gafas». Los totales de la tabla son los que se usan para contar.


$\mathbf{\text{a)}}$ La casilla «Total» de la fila «Con gafas» dice que llevan gafas 9 alumnos, y se cuentan sobre los 30 de la clase:
$\boxed{{\displaystyle P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}}}$
$P(G)={\displaystyle \frac{9}{30}}={\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}$
Lleva gafas el 30 % de la clase.


$\mathbf{\text{b)}}$ «Chica sin gafas» es una sola casilla de la tabla, la que cruza la fila «Sin gafas» con la columna «Chicas»: 12 alumnas de las 30.
$P(M\cap \bar{G})={\displaystyle \frac{12}{30}}={\displaystyle \frac{2}{5}}=\mathrm{0,4}$
Es chica y no lleva gafas el 40 % de la clase.


$\mathbf{\text{c)}}$ Ahora la casilla que cruza «Con gafas» con «Chicos»: 5 alumnos de los 30.
$P(H\cap G)={\displaystyle \frac{5}{30}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$
Es chico y lleva gafas el 16,67 % de la clase.


$\mathbf{\text{d)}}$ «Siendo chica» quiere decir que ya se sabe que la persona elegida es una chica. Eso reduce el grupo: ya no se elige entre los 30 alumnos, sino solo entre las 16 chicas. Es una probabilidad CONDICIONADA, y se calcula con Laplace dentro de ese grupo más pequeño. De las 16 chicas, 12 no llevan gafas:
$P(\bar{G}\mathrm{/}M)={\displaystyle \frac{12}{16}}={\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}$
Entre las chicas, no lleva gafas el 75 %. Cuidado con no confundirlo con el apartado b): allí se elegía entre los 30 y aquí, entre las 16 chicas.