Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Ana guarda en un cajón 6 camisetas: 2 blancas, 3 negras y 1 azul, en otro cajón 5 pantalones: 2 negros y tres azules. Abre un cajón y saca una camiseta sin mirarla y luego abre el otro cajón y saca un pantalón sin mirarlo. Haz un diagrama y calcula la probabilidad de que los dos sean del mismo color?

La camiseta y el pantalón salen de cajones DISTINTOS, así que lo que salga en uno no cambia lo que hay en el otro: los dos sucesos son INDEPENDIENTES y las probabilidades del pantalón son las mismas saque Ana la camiseta que saque. Aquí no hay que preguntarse si se devuelve nada, porque no se saca dos veces del mismo cajón.

En el primer cajón hay $2+3+1=6$ camisetas y en el segundo, $2+3=5$ pantalones. Los nodos del árbol llevan la inicial del color: B es blanco, N es negro y A es azul; el subíndice 1 es para la camiseta y el 2, para el pantalón. Llamamos M al suceso «la camiseta y el pantalón son del mismo color».


En el árbol, el primer nivel es la camiseta y el segundo, el pantalón. En cada arista va la probabilidad de esa rama, que sale de contar en el cajón que toca: las camisetas son 2 blancas, 3 negras y 1 azul de 6, y los pantalones, 2 negros y 3 azules de 5.

Solo dos caminos del árbol dan los dos del mismo color: negro con negro y azul con azul. La camiseta blanca no puede emparejarse, porque no hay ningún pantalón blanco.
Cada camino se calcula multiplicando las dos ramas que lo forman, y se pueden multiplicar porque los dos cajones son independientes:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}}$
$P(N_1\cap N_2)=P(N_1)\cdot P(N_2)$
$={\displaystyle \frac{3}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{6}{30}}={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$
$P(A_1\cap A_2)=P(A_1)\cdot P(A_2)$
$={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{3}{30}}={\displaystyle \frac{1}{10}}=\mathrm{0,1}$
Los dos caminos no pueden darse a la vez, así que la probabilidad de que los dos sean del mismo color es la suma de los dos:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{=}-P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(M)={\displaystyle \frac{6}{30}}+{\displaystyle \frac{3}{30}}$
$={\displaystyle \frac{9}{30}}={\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}$
Ana sale con camiseta y pantalón del mismo color el 30 % de las veces: tres de cada diez.