Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

En una clase hay 12 chicos y 18 chicas, se eligen consecutivamente dos personas al azar. Haz un diagrama y calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo sexo?

Las dos personas se eligen «consecutivamente» y no puede salir dos veces la misma, así que es SIN REEMPLAZAMIENTO: para la segunda elección quedan 29 personas, y cuántas hay de cada sexo depende de quién haya salido la primera vez. Por eso las ramas del segundo nivel del árbol NO son iguales en las dos mitades, y hay que usar la probabilidad condicionada.

En la clase hay $12+18=30$ personas. Los nodos del árbol llevan H para chico y M para chica; el subíndice 1 es para la primera persona elegida y el 2, para la segunda. Llamamos S al suceso «las dos personas son del mismo sexo».


En el árbol, el primer nivel es la primera persona y el segundo, la segunda. Si la primera es un chico quedan 11 chicos y 18 chicas de 29; si es una chica, quedan 12 chicos y 17 chicas de 29.

Los dos caminos del mismo sexo son el de los dos chicos y el de las dos chicas. Como la segunda elección depende de la primera, se multiplica la probabilidad de la primera por la de la segunda SABIENDO lo que salió antes:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mathrm{/}A)}}$
$P(H_1\cap H_2)=P(H_1)\cdot P(H_2\mathrm{/}{H}_1)$
$={\displaystyle \frac{12}{30}}\cdot {\displaystyle \frac{11}{29}}={\displaystyle \frac{132}{870}}$
$={\displaystyle \frac{22}{145}}\approx \mathrm{0,1517}$
$P(M_1\cap M_2)=P(M_1)\cdot P(M_2\mathrm{/}{M}_1)$
$={\displaystyle \frac{18}{30}}\cdot {\displaystyle \frac{17}{29}}={\displaystyle \frac{306}{870}}$
$={\displaystyle \frac{51}{145}}\approx \mathrm{0,3517}$
Los dos caminos no pueden darse a la vez, así que se suman:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{=}-P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(S)={\displaystyle \frac{132}{870}}+{\displaystyle \frac{306}{870}}$
$={\displaystyle \frac{438}{870}}={\displaystyle \frac{73}{145}}\approx \mathrm{0,5034}$
Las dos personas son del mismo sexo el 50,34 % de las veces: algo más de la mitad, porque hay más chicas que chicos y eso hace más fácil repetir sexo.