Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

En una bolsa hay 5 refrescos de limón, 6 de naranja y 4 de cola. Sin mirar una persona coge un refresco y a continuación otro. Haz un diagrama y calcula la probabilidad de que sean del mismo sabor

La persona coge un refresco y «a continuación» otro: el primero no vuelve a la bolsa, así que es SIN REEMPLAZAMIENTO y en la segunda cogida quedan 14 refrescos. Cuántos quedan de cada sabor depende del que cogió primero, de modo que las ramas del segundo nivel del árbol cambian según la rama del primero, y hay que usar la probabilidad condicionada.

En la bolsa hay $5+6+4=15$ refrescos. Los nodos del árbol llevan la inicial del sabor: L es limón, N es naranja y C es cola; el subíndice 1 es para el primer refresco y el 2, para el segundo. Llamamos S al suceso «los dos refrescos son del mismo sabor».


En el árbol, el primer nivel es el primer refresco y el segundo, el segundo. En cada rama del segundo nivel falta un refresco del sabor que se cogió primero: por ejemplo, si el primero fue de limón, quedan 4 de limón, 6 de naranja y 4 de cola entre los 14.

Los tres caminos que dan el mismo sabor son limón con limón, naranja con naranja y cola con cola. Cada uno se calcula multiplicando la probabilidad del primer refresco por la del segundo SABIENDO cuál fue el primero:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mathrm{/}A)}}$
$P(L_1\cap L_2)=P(L_1)\cdot P(L_2\mathrm{/}{L}_1)$
$={\displaystyle \frac{5}{15}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{14}}={\displaystyle \frac{20}{210}}$
$={\displaystyle \frac{2}{21}}\approx \mathrm{0,0952}$
$P(N_1\cap N_2)=P(N_1)\cdot P(N_2\mathrm{/}{N}_1)$
$={\displaystyle \frac{6}{15}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{14}}={\displaystyle \frac{30}{210}}$
$={\displaystyle \frac{1}{7}}\approx \mathrm{0,1429}$
$P(C_1\cap C_2)=P(C_1)\cdot P(C_2\mathrm{/}{C}_1)$
$={\displaystyle \frac{4}{15}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{14}}={\displaystyle \frac{12}{210}}$
$={\displaystyle \frac{2}{35}}\approx \mathrm{0,0571}$
Los tres caminos son incompatibles, así que se suman, y para sumarlos se ponen las tres fracciones con el mismo denominador, 210:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{=}-P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(S)={\displaystyle \frac{20}{210}}+{\displaystyle \frac{30}{210}}+{\displaystyle \frac{12}{210}}$
$={\displaystyle \frac{62}{210}}={\displaystyle \frac{31}{105}}\approx \mathrm{0,2952}$
Los dos refrescos salen del mismo sabor el 29,52 % de las veces: menos de una de cada tres.