Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

En una urna hay 3 bolas rojas y 4 verdes, en otra hay 4 rojas y dos verdes. Se saca al azar una bola de cada urna. Haz un diagrama y calcula la probabilidad de que las dos sean del mismo color.

Se saca una bola de CADA urna, así que las dos extracciones son INDEPENDIENTES: lo que salga en la primera urna no cambia lo que queda en la segunda, porque son urnas distintas. No hay que decidir nada sobre devolver las bolas, porque de cada urna solo se saca una.

La primera urna tiene $3+4=7$ bolas y la segunda, $4+2=6$. Los nodos del árbol llevan la inicial del color: R es roja y V es verde; el subíndice 1 es para la bola de la primera urna y el 2, para la de la segunda. Llamamos M al suceso «las dos bolas son del mismo color».


En el árbol, el primer nivel es la bola de la primera urna y el segundo, la de la segunda. En cada arista va la probabilidad de esa rama: en la primera urna hay 3 rojas y 4 verdes de 7, y en la segunda, 4 rojas y 2 verdes de 6. Como las urnas son independientes, las ramas del segundo nivel son iguales en las dos mitades del árbol.

Los dos caminos que dan el mismo color son el de las dos rojas y el de las dos verdes, y cada uno se calcula multiplicando sus dos ramas:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}}$
$P(R_1\cap R_2)=P(R_1)\cdot P(R_2)$
$={\displaystyle \frac{3}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{12}{42}}={\displaystyle \frac{2}{7}}\approx \mathrm{0,2857}$
$P(V_1\cap V_2)=P(V_1)\cdot P(V_2)$
$={\displaystyle \frac{4}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{8}{42}}={\displaystyle \frac{4}{21}}\approx \mathrm{0,1905}$
Los dos caminos no pueden darse a la vez, así que se suman:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{=}-P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(M)={\displaystyle \frac{12}{42}}+{\displaystyle \frac{8}{42}}={\displaystyle \frac{20}{42}}$
$={\displaystyle \frac{10}{21}}\approx \mathrm{0,4762}$
Las dos bolas salen del mismo color el 47,62 % de las veces: casi la mitad.