Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

En una ciudad el 40% es aficionada al fútbol, el 30% al baloncesto y el 10% a los dos deportes. Se escoge una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Sea aficionada al fútbol ó al baloncesto.
b) Al fútbol pero no al baloncesto.
c) No sea aficionada a ninguno de los dos deportes.

Aquí los dos sucesos SÍ se solapan: hay un 10 % que es aficionado a los dos deportes a la vez, así que no se pueden sumar los porcentajes sin más o ese 10 % se contaría dos veces. Los porcentajes se pasan a probabilidad dividiéndolos entre 100.

Llamamos F al suceso «es aficionada al fútbol» y B a «es aficionada al baloncesto». Del enunciado:
$P(F)={\displaystyle \frac{40}{100}}=\mathrm{0,4}$
$P(B)={\displaystyle \frac{30}{100}}=\mathrm{0,3}$
$P(F\cap B)={\displaystyle \frac{10}{100}}=\mathrm{0,1}$


$\mathbf{\text{a)}}$ «Al fútbol o al baloncesto» es la unión de los dos sucesos. Al sumar el 40 % y el 30 %, el 10 % que es de los dos deportes se cuenta dos veces, así que hay que restarlo una:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{=}-P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(F\cup B)=P(F)+P(B)-P(F\cap B)$
$=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,3}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,6}$
Es aficionada a alguno de los dos deportes el 60 % de la ciudad.


$\mathbf{\text{b)}}$ Del 40 % que es del fútbol hay que quitar el 10 % que además es del baloncesto; lo que queda es el que es SOLO del fútbol:
$P(F\cap \bar{B})=P(F)-P(F\cap B)$
$=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,3}$
Es del fútbol y no del baloncesto el 30 % de la ciudad.


$\mathbf{\text{c)}}$ No ser aficionada a ninguno de los dos deportes es lo contrario de serlo a alguno de ellos, que es lo del apartado a):
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{F}\cap \bar{B})=1-P(F\cup B)$
$=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$
No le gusta ninguno de los dos deportes al 40 % de la ciudad.