Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

¿ Y si jugamos con 7 números? ¿ Y con ocho?

Este ejercicio continúa el anterior: se sigue hablando de la Lotería Primitiva, en la que se extraen seis números de entre 49 sin que importe el orden. Jugar una apuesta múltiple con más de seis números equivale a rellenar todas las apuestas de seis que se pueden formar con ellos, así que hay que contar cuántas son. Los resultados posibles del sorteo no cambian: siguen siendo las combinaciones de 49 tomadas de 6 en 6.

Llamamos $A_7$ al suceso «acierto los seis jugando con siete números» y $A_8$ al mismo suceso jugando con ocho.


Los resultados posibles del sorteo son los mismos que en el ejercicio anterior:
$\boxed{{\displaystyle C_{m,n}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{n}\right)}={\displaystyle \frac{m!}{n!(m-n)!}}}}$
$C_{49,6}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{49}{6}\right)}={\displaystyle \frac{49!}{6!43!}}$
$=\mathrm{13.983.816}$
Con SIETE números se cubren todas las apuestas de seis que se pueden formar con esos siete, y son las combinaciones de 7 tomadas de 6 en 6:
$C_{7,6}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{6}\right)}={\displaystyle \frac{7!}{6!1!}}=7$
Siete apuestas favorables de los casi catorce millones de resultados:
$\boxed{{\displaystyle P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}}}$
$P(A_7)={\displaystyle \frac{7}{\mathrm{13.983.816}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1.997.688}}}$
Con OCHO números, las apuestas de seis que quedan cubiertas son:
$C_{8,6}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{6}\right)}={\displaystyle \frac{8!}{6!2!}}=28$
y la probabilidad es veintiocho veces la de una sola apuesta:
$P(A_8)={\displaystyle \frac{28}{\mathrm{13.983.816}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{499.422}}$
Pasar de siete a ocho números multiplica por cuatro las posibilidades, pero siguen siendo una entre casi medio millón.