Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

En un cajón hay (calcetines negros, 6 blancos y 4 azules. Escogemos dos calcetines al azar y nos lo ponemos. Calcula la probabilidad de que ambos sean:

a) Negros.
b) Blancos.
c) Azules.
d) Del mismo color.
e) De distinto color.

En el enunciado falta el número de calcetines negros: donde debería ir la cifra hay un paréntesis. Resolvemos el problema con 8 calcetines negros, y lo decimos aquí para que se sepa de dónde sale el 18 del denominador. Los dos calcetines se cogen para ponérselos, así que el primero NO vuelve al cajón: es una extracción SIN REEMPLAZAMIENTO, y en la segunda quedan 17 calcetines, uno menos del color que haya salido.

Con 8 negros, en el cajón hay $8+6+4=18$ calcetines. Llamamos N a «calcetín negro», B a «blanco» y A a «azul», con un subíndice para decir si es el primero o el segundo que se coge.


$\mathbf{\text{a)}}$ Los dos calcetines tienen que ser negros. La probabilidad de que el primero lo sea es 8 de 18; una vez cogido ese, en el cajón quedan 17 calcetines y 7 negros, así que la del segundo es 7 de 17. Cuando el segundo depende del primero, las dos probabilidades se multiplican así:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mathrm{/}A)}}$
$P(N_1\cap N_2)=P(N_1)\cdot P(N_2\mathrm{/}{N}_1)$
$={\displaystyle \frac{8}{18}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{17}}={\displaystyle \frac{56}{306}}$
$={\displaystyle \frac{28}{153}}\approx \mathrm{0,1830}$
Los dos calcetines salen negros el 18,3 % de las veces.


$\mathbf{\text{b)}}$ Ahora los dos blancos: 6 de 18 en la primera cogida y, quitando ese, 5 de 17 en la segunda.
$P(B_1\cap B_2)={\displaystyle \frac{6}{18}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{17}}$
$={\displaystyle \frac{30}{306}}={\displaystyle \frac{5}{51}}\approx \mathrm{0,0980}$
Los dos calcetines salen blancos el 9,8 % de las veces.


$\mathbf{\text{c)}}$ Ahora los dos azules: 4 de 18 en la primera cogida y, quitando ese, 3 de 17 en la segunda.
$P(A_1\cap A_2)={\displaystyle \frac{4}{18}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{17}}$
$={\displaystyle \frac{12}{306}}={\displaystyle \frac{2}{51}}\approx \mathrm{0,0392}$
Los dos calcetines salen azules el 3,92 % de las veces.


$\mathbf{\text{d)}}$ Llamamos M al suceso «los dos calcetines son del mismo color». Los tres casos anteriores son incompatibles, porque unos calcetines no pueden ser negros y blancos a la vez, y por eso M se calcula sumando los tres sin tener que quitar nada. Antes de sumar se ponen las tres fracciones con el mismo denominador, que es 153:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \phantom{=}-P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(M)={\displaystyle \frac{28}{153}}+{\displaystyle \frac{5}{51}}+{\displaystyle \frac{2}{51}}$
$={\displaystyle \frac{28}{153}}+{\displaystyle \frac{15}{153}}+{\displaystyle \frac{6}{153}}$
$={\displaystyle \frac{49}{153}}\approx \mathrm{0,3203}$
Los dos calcetines salen del mismo color el 32,03 % de las veces: menos de una de cada tres, que es lo que hace tan fácil salir de casa con dos calcetines distintos.


$\mathbf{\text{e)}}$ «De distinto color» es justo lo contrario de «del mismo color», así que se resta de 1 lo del apartado anterior:
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{M})=1-P(M)=1-{\displaystyle \frac{49}{153}}$
$={\displaystyle \frac{104}{153}}\approx \mathrm{0,6797}$
Los dos calcetines salen de distinto color el 67,97 % de las veces.