Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Una pieza para poder ser aceptada tiene que pasar por tres controles de calidad. En el primero se devuelven el 20% de las piezas, en el segundo el 15% y en el tercero el 10%.

a) Construye un diagrama de árbol .
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que una pieza sea aceptada por los tres controles de calidad?

La pieza pasa por los tres controles y en cada uno puede pasar o ser devuelta. El enunciado da el porcentaje de devueltas en cada control (20 %, 15 % y 10 %), así que el de las que pasan es el que falta hasta el 100 %. Los tres controles se suponen INDEPENDIENTES entre sí, porque el enunciado no da ninguna otra información, y la pieza solo se acepta si supera los tres.

Llamamos $P_1$, $P_2$ y $P_3$ a los sucesos «la pieza pasa el primer control», «pasa el segundo» y «pasa el tercero».


$\mathbf{\text{a)}}$ En el árbol, cada nivel es uno de los tres controles. En los nodos, P es «pasa el control» y D es «la devuelven», y en cada arista va la probabilidad de esa rama. En el primer control se devuelve el 20 % y pasa el 80 %; en el segundo se devuelve el 15 % y pasa el 85 %; en el tercero se devuelve el 10 % y pasa el 90 %.

La rama de arriba del todo, la de los tres nodos P, es el camino de la pieza que pasa los tres controles: la que se acepta.


$\mathbf{\text{b)}}$ Del árbol, las probabilidades de pasar cada control son
$P(P_1)={\displaystyle \frac{80}{100}}=\mathrm{0,8}$
$P(P_2)={\displaystyle \frac{85}{100}}=\mathrm{0,85}$
$P(P_3)={\displaystyle \frac{90}{100}}=\mathrm{0,9}$
y una pieza es aceptada si pasa el primer control, el segundo y el tercero, es decir, si ocurren los tres sucesos a la vez. Como son independientes, la probabilidad de que ocurran todos es el producto:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}}$
$P(P_1\cap P_2\cap P_3)$
$=P(P_1)\cdot P(P_2)\cdot P(P_3)$
$=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,85}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{0,612}$
De cada 1000 piezas fabricadas se aceptan unas 612: el 61,2 %.