Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Lanzamos tres monedas. Calcula la probabilidad de sacar:

a) 3 caras.
b) Exactamente una cara.
c) Al menos una cara.
d) Más de una cara.

Las tres monedas son independientes y cada una da cara o cruz con la misma probabilidad. Un resultado del experimento es lo que sale en las tres a la vez, así que hay $2\cdot 2\cdot 2=8$ resultados posibles, todos igual de probables: sobre esos ocho se cuenta.

Escribimos C para cara y X para cruz. Llamamos A al suceso «salen 3 caras», B a «sale exactamente una cara», D a «no sale ninguna cara» y E a «salen más de una cara». Estos son los ocho resultados, con las caras que tiene cada uno.

Resultado	Nº de caras CCC	3 CCX	2 CXC	2 CXX	1 XCC	2 XCX	1 XXC	1 XXX	0

$\mathbf{\text{a)}}$ En la tabla solo hay un resultado con tres caras, el CCC:
$\boxed{{\displaystyle P(A)={\displaystyle \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}}}}$
$P(A)={\displaystyle \frac{1}{8}}=\mathrm{0,125}$
Salen tres caras una vez de cada ocho: el 12,5 %.


$\mathbf{\text{b)}}$ Con exactamente una cara hay tres resultados: CXX, XCX y XXC.
$P(B)={\displaystyle \frac{3}{8}}=\mathrm{0,375}$
Sale una sola cara el 37,5 % de las veces.


$\mathbf{\text{c)}}$ «Al menos una cara» quiere decir una, dos o tres, y son seis resultados de los ocho. Sale mucho más corto por el contrario: lo contrario de «al menos una cara» es «ninguna cara», y ninguna cara es un único resultado, el XXX. Su probabilidad es ${\displaystyle \frac{1}{8}}=\mathrm{0,125}$, y ahora se resta de 1:
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{D})=1-P(D)$
$=1-{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{7}{8}}=\mathrm{0,875}$
Sale alguna cara siete de cada ocho veces: el 87,5 %.


$\mathbf{\text{d)}}$ «Más de una cara» son los resultados con dos caras o con tres: CCX, CXC, XCC y CCC, cuatro de los ocho.
$P(E)={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$
Salen más de una cara la mitad de las veces: el 50 %.