Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Se considera el experimento «lanzar dos dados y sumar sus puntos».

a) Escribe su espacio muestral.
b) Dado el suceso $A=\{4,6,8\}$ calcula $\bar{A}$.
c) Dado el suceso $B=\{3,5,7,9,11\}$. Calcula $A\cup B$ y $A\cap C$.
d) Calcula $\bar{B}$ y $A\cap \bar{B}$.

Al lanzar dos dados y sumar, el resultado del experimento es la SUMA, no la pareja de dados: el espacio muestral son las sumas que se pueden obtener. Aquí no se pide ninguna probabilidad, sino sucesos, es decir, conjuntos de sumas.


$\mathbf{\text{a)}}$ La suma más pequeña es $1+1=2$ y la mayor, $6+6=12$, y entre medias se puede conseguir cualquier número entero:
$E=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$
Once resultados posibles.


$\mathbf{\text{b)}}$ El contrario de A lo forman las sumas del espacio muestral que NO están en A:
$\boxed{{\displaystyle \bar{A}=E-A}}$
$\bar{A}=E-A=\{2,3,5,7,9,10,11,12\}$
Ocho sumas de las once.


$\mathbf{\text{c)}}$ La unión la forman las sumas que están en A, en B o en los dos a la vez:
$A\cup B=\{3,4,5,6,7,8,9,11\}$
La ficha pide después $A\cap C$, pero en este ejercicio no se ha definido ningún suceso C: los únicos sucesos que hay son A y B. Lo entendemos, por tanto, como $A\cap B$, que son las sumas que están a la vez en los dos. Como A solo tiene sumas pares y B solo impares, no hay ninguna:
$A\cap B=\mathrm{\varnothing }$
A y B son incompatibles.


$\mathbf{\text{d)}}$ Primero el contrario de B, que son las sumas que no están en B:
$\bar{B}=E-B=\{2,4,6,8,10,12\}$
Y ahora los resultados que están a la vez en A y en $\bar{B}$. Las tres sumas de A (4, 6 y 8) son pares, así que ninguna está en B y todas están en su contrario:
$A\cap \bar{B}=\{4,6,8\}\cap \{2,4,6,8,10,12\}$
$=\{4,6,8\}=A$
Sale el propio suceso A.