Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Sean A y B dos sucesos tales que:
$P(A\cup B)={\displaystyle \frac{4}{5}}P(\bar{A})={\displaystyle \frac{2}{5}}P(\bar{B})={\displaystyle \frac{1}{2}}$

a) ¿Son A y B incompatibles?
b) ¿Son A y B independientes?

Las dos preguntas se contestan con el mismo número: la probabilidad de que ocurran los dos a la vez. Incompatibles significa que esa probabilidad es cero; independientes, que vale el producto de las dos probabilidades. Como los datos vienen con los sucesos contrarios, lo primero es pasar a A y a B.


$\mathbf{\text{a)}}$ De los contrarios sacamos las dos probabilidades:
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(A)=1-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}P(B)=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
Ahora despejamos la intersección de la regla de la unión, que es el único dato que falta:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{6}{10}}+{\displaystyle \frac{5}{10}}-{\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}$
No vale cero, así que A y B SÍ pueden ocurrir a la vez: no son incompatibles.


$\mathbf{\text{b)}}$ Para que lo sean, la probabilidad de que ocurran los dos tiene que ser justo el producto de las dos:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}}$
$P(A)\cdot P(B)={\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}$
Sale ${\displaystyle \frac{3}{10}}$, que es exactamente la intersección del apartado anterior.


Incompatible e independiente no son lo mismo, y este ejercicio lo enseña: A y B se pueden dar a la vez (tres de cada diez veces) y precisamente por eso pueden ser independientes. Dos sucesos incompatibles con probabilidad no nula nunca son independientes.