Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Sean A y B dos sucesos tales que:
$P(A)=\mathrm{0,5}P(\bar{B})=\mathrm{0,4}P(\bar{A}\cup \bar{B})=\mathrm{0,75}$
Calcular:

a) $P(B\mathrm{/}A)$
b) $P(\bar{A}\mathrm{/}B)$

Los datos vienen con los contrarios, así que lo primero es traducirlos: de $P(\bar{B})$ sale B, y el tercer dato, por la ley de De Morgan, es el contrario de la intersección. Con A, B y la intersección ya se pueden montar las dos condicionadas.


$\mathbf{\text{a)}}$ De los contrarios sacamos B y la intersección. «No está en A o no está en B» es lo mismo que «no están los dos a la vez», así que el tercer dato es el contrario de la lente común:
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(B)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}P(A\cap B)=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}$
Sabemos que ha ocurrido A: se cuenta solo dentro de A, y de B solo la parte común.
$\boxed{{\displaystyle P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}}}$
$P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,5}$


$\mathbf{\text{b)}}$ La condición es B, y en el numerador va la parte de B en la que NO está A, o sea la parte de B que sobresale de A:
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)}}$
$P(\bar{A}\cap B)=\mathrm{0,6}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,35}$
$\boxed{{\displaystyle P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}}}$
$P(\bar{A}\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,35}}{\mathrm{0,6}}}={\displaystyle \frac{7}{12}}\approx \mathrm{0,5833}$


De las veces que ocurre A, la mitad ocurre también B; y de las veces que ocurre B, en algo más de la mitad (un 58,33 %) no ha ocurrido A.