Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Sean A y B dos sucesos tales que:
$P(A)=\mathrm{0,6}P(B)=\mathrm{0,2}P(A\cup B)=\mathrm{0,7}$

a) Calcúlese $P(A\cap B)$ y razónese si los sucesos A y B son independientes.
b) Calcúlese $P(\overline{A\cup B})$.

Aquí el dato que falta es la intersección, y se saca despejándola de la regla de la unión. Con ella se contesta lo de la independencia, que se decide comparándola con el producto de las dos probabilidades.


$\mathbf{\text{a)}}$ De la regla de la unión se despeja la lente común:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(A\cap B)=\mathrm{0,6}+\mathrm{0,2}-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,1}$
Para que fueran independientes, esa intersección tendría que ser el producto de las dos probabilidades:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}}$
$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,12}$
Sale 0,12 y la intersección es 0,1: no coinciden, así que A y B NO son independientes.


$\mathbf{\text{b)}}$ Es el contrario de la unión, o sea «ni A ni B», y la unión nos la dan en el enunciado:
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\overline{A\cup B})=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$


Que ocurra B se hace un poco menos probable cuando ha ocurrido A, y por eso los sucesos no son independientes. Tres de cada diez veces no ocurre ninguno de los dos.