Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Sean A, B y C tres sucesos independientes tales que:
$P(A)=\mathrm{0,2}P(B)=\mathrm{0,8}P(C)=\mathrm{0,7}$
Halla las probabilidades de los sucesos siguientes:

a) $P(A\cup B)$
b) $P(A\cup C)$
c) $P(B\cup C)$

El enunciado dice que los tres sucesos son independientes: que ocurra uno no cambia la probabilidad de los otros, así que la probabilidad de que dos ocurran a la vez es el producto de sus probabilidades. Con esa intersección ya se puede montar cada unión.


$\mathbf{\text{a)}}$ Como A y B son independientes, la probabilidad de que ocurran los dos es el producto:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}}$
$P(A\cap B)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,16}$
Con la intersección ya se monta la unión, restándola una vez:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(A\cup B)=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,8}-\mathrm{0,16}=\mathrm{0,84}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Como A y C son independientes, la probabilidad de que ocurran los dos es el producto:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}}$
$P(A\cap C)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{0,14}$
Con la intersección ya se monta la unión, restándola una vez:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(A\cup C)=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,7}-\mathrm{0,14}=\mathrm{0,76}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Como B y C son independientes, la probabilidad de que ocurran los dos es el producto:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}}$
$P(B\cap C)=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{0,56}$
Con la intersección ya se monta la unión, restándola una vez:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(B\cup C)=\mathrm{0,8}+\mathrm{0,7}-\mathrm{0,56}=\mathrm{0,94}$


Cuanto mayores son los dos sucesos, más probable es que ocurra alguno: la pareja B y C, que son los dos más probables, da un 94 %, mientras que A y B se quedan en un 84 %.