Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Sean A y B dos sucesos con:
$P(A)=\mathrm{0,5}P(B)=\mathrm{0,3}P(A\cap B)=\mathrm{0,1}$
Calcular:

a) $P(A\mathrm{/}B)$
b) $P(A\mathrm{/}A\cap B)$
c) $P(A\cap B\mathrm{/}A\cup B)$
d) $P(A\mathrm{/}A\cup B)$

Todos los apartados son probabilidades condicionadas. Condicionar es cambiar de espacio muestral: ya no se cuenta sobre todo lo posible, sino solo sobre lo que dice la condición, y por eso se divide entre la probabilidad de esa condición. En el numerador va la parte del suceso que cae DENTRO de la condición.


$\mathbf{\text{a)}}$ Sabemos que ha ocurrido B, así que solo cuenta lo que hay dentro de B; de A, solo la parte que comparte con B, que es la intersección.
$\boxed{{\displaystyle P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}}}$
$P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,3}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx \mathrm{0,3333}$


$\mathbf{\text{b)}}$ La condición es que hayan ocurrido A y B a la vez; si eso ha pasado, A ha ocurrido seguro. En el numerador va la parte de A que cae dentro de la condición, que es la condición entera.
$\boxed{{\displaystyle P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}}}$
$P(A\mathrm{/}A\cap B)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}}=1$


$\mathbf{\text{c)}}$ Ahora la condición es que haya ocurrido alguno de los dos, así que hace falta la unión:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(A\cup B)=\mathrm{0,5}+\mathrm{0,3}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,7}$
La lente común está entera dentro de la unión, así que el numerador es la propia intersección:
$\boxed{{\displaystyle P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}}}$
$P(A\cap B\mathrm{/}A\cup B)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,7}}}={\displaystyle \frac{1}{7}}\approx \mathrm{0,1429}$


$\mathbf{\text{d)}}$ La condición vuelve a ser la unión, que ya vale 0,7. A está entero dentro de la unión, así que el numerador es A completo.
$\boxed{{\displaystyle P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}}}$
$P(A\mathrm{/}A\cup B)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{0,7}}}={\displaystyle \frac{5}{7}}\approx \mathrm{0,7143}$


Saber que ha ocurrido algo sube o baja la probabilidad de A según lo que se sepa: sin información A vale 0,5, sabiendo que ocurrió B baja a 0,3333, y sabiendo que ocurrió alguno de los dos sube a 0,7143.