Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Sean A y B dos sucesos con probabilidades:
$P(A)=\mathrm{0,4}P(B)=\mathrm{0,7}$
Determinar los posibles valores del máximo y del mínimo de $P(A\cap B)$ y las condiciones en que se consigue cada uno de estos valores.

La intersección está encajada entre dos topes: por arriba no puede pasar del menor de los dos sucesos, porque la lente común es un trozo de los dos; y por abajo la obliga la regla de la unión, porque ninguna probabilidad puede pasar de 1.

La lente común está dentro de A, así que su probabilidad no puede pasar de la de A, que es la menor de las dos:
$P(A\cap B)\le P(A)=\mathrm{0,4}$
El máximo, 0,4, se alcanza cuando A entero está dentro de B: entonces la lente común es A.
Para el mínimo se despeja la intersección de la regla de la unión:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(A\cap B)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,7}-P(A\cup B)=\mathrm{1,1}-P(A\cup B)$
La unión es una probabilidad, así que como mucho vale 1; y cuanto mayor sea la unión, menor es la intersección. Con la unión en su tope:
$P(A\cap B)=\mathrm{1,1}-1=\mathrm{0,1}$
El mínimo, 0,1, se alcanza cuando entre A y B llenan el espacio muestral, es decir cuando no queda ningún resultado fuera de los dos.

La intersección tiene que estar entre 0,1 y 0,4. No puede valer 0: si A y B fuesen incompatibles, la unión valdría 1,1, que es imposible.