Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Sean A y B dos sucesos tales que:
$P(A)={\displaystyle \frac{3}{8}}P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}$
Calcula para qué valor de $P(A\cup B)$ los sucesos A y B son independientes.

Dos sucesos son independientes cuando que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro, y eso se traduce en que la probabilidad de que ocurran los dos es el producto de las dos probabilidades. Aquí no nos dan la intersección: la calculamos imponiendo esa condición y después montamos la unión.

Si A y B son independientes, la probabilidad de que ocurran los dos a la vez es el producto:
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}}$
$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{16}}=\mathrm{0,1875}$
Con la intersección ya podemos montar la unión, restando una vez la lente común:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(A\cup B)={\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{16}}={\displaystyle \frac{6}{16}}+{\displaystyle \frac{8}{16}}-{\displaystyle \frac{3}{16}}={\displaystyle \frac{11}{16}}=\mathrm{0,6875}$

Con $P(A\cup B)={\displaystyle \frac{11}{16}}$ los dos sucesos son independientes: casi siete de cada diez veces ocurre alguno de los dos (un 68,75 %).