Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Sean A y B dos sucesos cualesquiera del mismo espacio de sucesos, tales que:
$P(A)={\displaystyle \frac{3}{8}}P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{4}}$
Calcula:

a) $P(\bar{A})$
b) $P(A\cup B)$
c) $P(\bar{A}\cup \bar{B})$
d) $P(\bar{A}\cap \bar{B})$
e) $P(A\cap \bar{B})$
f) $P(\bar{A}\cap B)$

La intersección no es cero, así que A y B pueden ocurrir a la vez. Con los tres datos se rellenan las cuatro regiones del diagrama de Venn y todos los apartados se leen en él; las fracciones se reducen a común denominador 8 para poder sumarlas y restarlas.




$\mathbf{\text{a)}}$ Es el suceso contrario de A.
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{A})=1-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}=\mathrm{0,625}$


$\mathbf{\text{b)}}$ La lente común está contada en A y también en B, así que al sumar hay que restarla una vez:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(A\cup B)={\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{4}{8}}-{\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}=\mathrm{0,625}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Por la ley de De Morgan, «no está en A o no está en B» es lo mismo que «no están los dos a la vez»: el contrario de la intersección.
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{A}\cup \bar{B})=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}$


$\mathbf{\text{d)}}$ La otra ley de De Morgan: «ni A ni B» es el contrario de la unión, la región de fuera.
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-{\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}=\mathrm{0,375}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Es la parte de A que sobresale de B: a A entero se le quita la lente común.
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)}}$
$P(A\cap \bar{B})={\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{8}}=\mathrm{0,125}$


$\mathbf{\text{f)}}$ Y ahora la parte de B que sobresale de A.
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)}}$
$P(\bar{A}\cap B)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}$


Contadas en octavos, las cuatro regiones valen 1 (solo A), 2 (los dos), 2 (solo B) y 3 (ninguno de los dos): los ocho octavos del total. Ocurre alguno de los dos sucesos cinco de cada ocho veces, un 62,5 %.