Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Se consideran los siguientes sucesos:
$P(A)=\mathrm{0,6}P(B)=\mathrm{0,8}P(A\cap B)=\mathrm{0,5}$
Calcula:

a) $P(\bar{A})$
b) $P(\bar{B})$
c) $P(\overline{A\cap B})$
d) $P(A\cup B)$
e) $P(\overline{A\cup B})$
f) $P(\bar{A}\cap B)$
g) $P(A\cap \bar{B})$
h) $P(\bar{A}\cap \bar{B})$
i) $P(\bar{A}\cup \bar{B})$

A y B pueden ocurrir a la vez, porque su intersección no es cero: son sucesos compatibles. Con los tres datos se rellenan las cuatro regiones del diagrama de Venn (solo A, la lente común, solo B y lo de fuera), y a partir de ahí todos los apartados salen de mirar el dibujo.




$\mathbf{\text{a)}}$ Es el suceso contrario de A: todo lo que no está en A.
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{A})=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Igual con B: se le quita a 1 la probabilidad de B.
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{B})=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$


$\mathbf{\text{c)}}$ La barra está encima de la intersección entera: es «que no ocurran los dos a la vez», el contrario de la lente común.
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\overline{A\cap B})=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$


$\mathbf{\text{d)}}$ La lente común está dentro de A y también dentro de B, así que al sumar las dos probabilidades se cuenta dos veces y hay que restarla una:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -P(A\cap B)}\end{array}}}$
$P(A\cup B)=\mathrm{0,6}+\mathrm{0,8}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,9}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Es lo contrario de la unión, o sea «ni A ni B»: lo que queda fuera de las dos elipses.
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\overline{A\cup B})=1-\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}$


$\mathbf{\text{f)}}$ Es la parte de B que sobresale de A: a B entero se le quita la lente común.
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)}}$
$P(\bar{A}\cap B)=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,3}$


$\mathbf{\text{g)}}$ Ahora al revés: la parte de A que sobresale de B.
$\boxed{{\displaystyle P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)}}$
$P(A\cap \bar{B})=\mathrm{0,6}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,1}$


$\mathbf{\text{h)}}$ «Ni A ni B» es lo mismo que «no ocurre la unión»: es la ley de De Morgan, y en el dibujo son las dos la región de fuera. Vale lo mismo que el apartado e).
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}$


$\mathbf{\text{i)}}$ La otra ley de De Morgan: «no está en A o no está en B» es lo mismo que «no están los dos a la vez», el contrario de la intersección. Vale lo mismo que el apartado c).
$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}$
$P(\bar{A}\cup \bar{B})=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$


Las cuatro regiones del diagrama valen 0,1 (solo A), 0,5 (los dos), 0,3 (solo B) y 0,1 (ninguno de los dos), y suman 1 como tienen que sumar. Nueve de cada diez veces ocurre alguno de los dos sucesos.