Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas 4 ESO

Dibuja en diagramas de Venn las siguientes probabilidades:



a) $P(A)$
b) $P(B)$
c) $P(A\cup B)$
d) $P(A\cap B)$
e) $P(\bar{A})$
f) $P(\bar{B})$
g) $P(\overline{A\cup B})$
h) $P(\overline{A\cap B})$
i) $P(\bar{A}\cap B)$
j) $P(A\cap \bar{B})$
k) $P(\bar{A}\cap \bar{B})$
l) $P(\bar{A}\cup \bar{B})$

En un diagrama de Venn el rectángulo es el espacio muestral, o sea todos los resultados posibles, y cada elipse es un suceso. Las dos elipses se solapan porque hay resultados que están en A y en B a la vez. Sombrear una región es la forma de ver qué resultados cuenta cada probabilidad, y aquí no hay nada que calcular: hay que leer el dibujo.


$\mathbf{\text{a)}}$ A es todo lo que queda dentro de la elipse de la izquierda, y eso incluye el trozo que comparte con B: un resultado que esté en los dos sucesos también está en A.



$\mathbf{\text{b)}}$ B es todo lo que queda dentro de la elipse de la derecha, otra vez con el trozo común dentro.



$\mathbf{\text{c)}}$ La unión es «A o B, o los dos»: se sombrean las dos elipses enteras. La parte común se sombrea una sola vez, y por eso al sumar probabilidades hay que restarla una vez.



$\mathbf{\text{d)}}$ La intersección es «A y B a la vez»: solo la lente en la que las dos elipses se solapan.



$\mathbf{\text{e)}}$ La barra encima significa «lo contrario»: todo lo que NO está en A. Se sombrea el rectángulo entero menos la elipse A, así que entra el trozo de B que sobresale de A.



$\mathbf{\text{f)}}$ Igual con B: todo lo que no está en la elipse de la derecha, incluido el trozo de A que sobresale de B.



$\mathbf{\text{g)}}$ La barra está encima de la unión entera, así que es «ni A ni B»: solo queda sombreado lo que está fuera de las dos elipses.



$\mathbf{\text{h)}}$ Aquí la barra está encima de la intersección: es «que no ocurran los dos a la vez». Se sombrea todo menos la lente común.



$\mathbf{\text{i)}}$ Está en B pero no en A: es la parte de la elipse de la derecha que sobresale de la de la izquierda, sin la lente común.



$\mathbf{\text{j)}}$ Está en A pero no en B: la parte de la elipse de la izquierda que sobresale de la de la derecha.



$\mathbf{\text{k)}}$ No está en A y tampoco está en B: sale exactamente el mismo dibujo que el del apartado g). Es una de las dos leyes de De Morgan: lo contrario de la unión es la intersección de los contrarios.



$\mathbf{\text{l)}}$ No está en A o no está en B, es decir, no está en los dos a la vez: el mismo dibujo del apartado h). Es la otra ley de De Morgan: lo contrario de la intersección es la unión de los contrarios.



Las cuatro regiones del dibujo (solo A, solo B, la lente común y lo de fuera) no se solapan y entre las cuatro llenan el rectángulo, así que sus probabilidades suman 1. Cualquiera de los doce apartados es una manera de agrupar esas cuatro piezas.