Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Calcula la altura del edificio.

La visual del observador sale de sus ojos, en $A$, pasa por lo alto del poste, en $C$, y llega a lo alto del edificio, en $E$: es una sola recta. Con la horizontal $AB$, trazada a la altura de sus ojos, y la horizontal $CD$, trazada a la altura del poste, quedan dos triángulos rectángulos, $ABC$ y $CDE$. Los dos tienen un ángulo recto y comparten el ángulo de la visual, que es el mismo en los dos porque $AB$ y $CD$ son paralelas. Por el criterio de los dos ángulos, son semejantes.

Los lados homólogos son los catetos horizontales entre sí, $AB$ con $CD$, y los verticales entre sí, $BC$ con $DE$.











El dibujo da la altura de los ojos, 1,56 m, la del poste, 3 m, y las dos distancias: 2,4 m del observador al poste y 6,5 m del poste al edificio. Los catetos horizontales son esas dos distancias, y el cateto vertical del primer triángulo es lo que el poste sobresale por encima de los ojos:
$BC=3-\mathrm{1,56}=\mathrm{1,44}\text{ m}$

Con eso ya se puede plantear la proporción entre los dos triángulos semejantes:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
${\displaystyle \frac{DE}{\mathrm{1,44}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,5}}{\mathrm{2,4}}}$

Se despeja el cateto vertical del segundo triángulo:
$DE={\displaystyle \frac{\mathrm{1,44}\cdot \mathrm{6,5}}{\mathrm{2,4}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,36}}{\mathrm{2,4}}}=\mathrm{3,9}\text{ m}$

Pero $DE$ no es la altura del edificio: es lo que sube el edificio POR ENCIMA del punto $D$, que está a la altura del poste. Hay que sumarle esos 3 m:
$h=3+\mathrm{3,9}=\mathrm{6,9}\text{ m}$

Se comprueba con los dos pares de lados homólogos, que tienen que dar la misma razón:
${\displaystyle \frac{\mathrm{3,9}}{\mathrm{1,44}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,5}}{\mathrm{2,4}}}={\displaystyle \frac{65}{24}}$

El edificio mide 6,9 metros de altura.