Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Sabemos que estos dos triángulos son semejantes. Halla los ángulos y los lados que faltan.

Los dos triángulos son semejantes, y el dibujo dice qué vértice va con cuál: el ángulo de ${33}^{\circ }$ está en $A$ y en $A^{\mathrm{\prime }}$, y los arcos iguales emparejan $B$ con $B^{\mathrm{\prime }}$ y $C$ con $C^{\mathrm{\prime }}$.

Los lados heredan ese emparejamiento: $AB$ se corresponde con $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$, $BC$ con $B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ y $AC$ con $A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$. El único lado conocido del triángulo pequeño, $B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}=20$ m, es el homólogo de $BC=40$ m.











Los tres ángulos de un triángulo suman siempre lo mismo, y de ahí sale el que falta en el grande:
$\boxed{{\displaystyle A+B+C={180}^{\circ }}}$
$B={180}^{\circ }-{33}^{\circ }-{51}^{\circ }={96}^{\circ }$

En dos triángulos semejantes los ángulos correspondientes son iguales, así que el pequeño tiene esos mismos tres: $A^{\mathrm{\prime }}={33}^{\circ }$, $B^{\mathrm{\prime }}={96}^{\circ }$ y $C^{\mathrm{\prime }}={51}^{\circ }$.

Con los lados manda la proporción: en dos triángulos semejantes los lados homólogos guardan todos la misma razón, y la del par conocido es la de todos.
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{AB}{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{BC}{B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{AC}{A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
$r={\displaystyle \frac{BC}{B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{40}{20}}=2$

Cada lado del triángulo grande mide el doble que su homólogo, así que cada lado del pequeño es la mitad del suyo:
$A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{AB}{r}}={\displaystyle \frac{51}{2}}=\mathrm{25,5}\text{ m}$
$A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{AC}{r}}={\displaystyle \frac{73}{2}}=\mathrm{36,5}\text{ m}$

Se comprueba con los tres pares de lados homólogos, que tienen que dar la misma razón:
${\displaystyle \frac{51}{\mathrm{25,5}}}={\displaystyle \frac{40}{20}}={\displaystyle \frac{73}{\mathrm{36,5}}}=2$

Faltaban el ángulo $B={96}^{\circ }$ del triángulo grande y, del pequeño, sus tres ángulos, que son ${33}^{\circ }$, ${96}^{\circ }$ y ${51}^{\circ }$, y sus dos lados: $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ mide $\mathrm{25,5}$ metros y $A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ mide $\mathrm{36,5}$ metros.