Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.

El rayo de luz que sale de la copa del árbol rebota en el charco y llega a los ojos de Sergio, y al reflejarse forma con el suelo el mismo ángulo al llegar que al salir. Aparecen así dos triángulos, el de Sergio y el del árbol, con dos ángulos iguales: ese del reflejo en el charco y el recto que forman el suelo y cada cuerpo, que están de pie. Por el criterio de los dos ángulos, son semejantes.

Los lados homólogos son las alturas entre sí, la de Sergio con la del árbol, y las distancias al charco entre sí, la de Sergio al charco con la del charco al árbol. Emparejar la altura del árbol con la distancia de Sergio al charco es el error clásico aquí.











Las medidas vienen en dos unidades distintas y hay que ponerlas todas en la misma antes de dividir. La altura de Sergio, pasada a metros:
$152\text{ cm}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ m}}{100\text{ cm}}}=\mathrm{1,52}\text{ m}$

Y la distancia del charco al árbol no es un dato: los 10,7 m van de Sergio al árbol, así que hay que quitarles los 3,2 m que van de Sergio al charco.
$\mathrm{10,7}-\mathrm{3,2}=\mathrm{7,5}\text{ m}$

Ahora ya se puede plantear la proporción, porque los lados homólogos de dos triángulos semejantes son proporcionales. A la altura de Sergio le toca la distancia de Sergio al charco, y a la altura del árbol, la del charco al árbol:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
${\displaystyle \frac{h}{\mathrm{1,52}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,5}}{\mathrm{3,2}}}$

Se despeja la altura del árbol multiplicando en cruz:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle h}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{1,52}\cdot \mathrm{7,5}}{\mathrm{3,2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{11,4}}{\mathrm{3,2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{3,5625}\text{ m}\approx \mathrm{3,56}\text{ m}}\end{array}$

Se comprueba la proporción con los dos pares de lados homólogos, que tienen que dar la misma razón:
${\displaystyle \frac{\mathrm{3,5625}}{\mathrm{1,52}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,5}}{\mathrm{3,2}}}=\mathrm{2,34375}$

El árbol mide 3,56 metros de altura.