Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m de altura, situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro está a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña.

Lo que dice el enunciado es que los ojos de Pedro, la copa del árbol y la cima de la montaña están alineados: la visual es una sola recta. Si se mide todo desde el nivel de los ojos de Pedro, esa recta hace de lado inclinado de dos triángulos rectángulos, el del árbol y el de la montaña, que comparten el ángulo de la visual y tienen los dos un ángulo recto, porque las alturas son verticales y las distancias horizontales. Por el criterio de los dos ángulos, son semejantes.

Los lados homólogos son las distancias horizontales entre sí, la de Pedro al árbol con la de Pedro a la montaña, y las alturas SOBRE EL NIVEL DE LOS OJOS entre sí. Cuidado con esto último: lo que entra en la proporción no es la altura del árbol, sino lo que sobresale por encima de los ojos de Pedro.











La altura de Pedro viene en centímetros y todo lo demás en metros, así que primero se unifican las unidades:
$182\text{ cm}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ m}}{100\text{ cm}}}=\mathrm{1,82}\text{ m}$

Lo que el árbol sobresale por encima de los ojos de Pedro:
$\mathrm{3,32}-\mathrm{1,82}=\mathrm{1,5}\text{ m}$

Ahora la proporción entre los dos triángulos semejantes, con la altura de la montaña sobre el nivel de los ojos como incógnita:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
${\displaystyle \frac{h-\mathrm{1,82}}{138}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{2,3}}}$

Se despeja lo que la montaña sobresale por encima de los ojos:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle h-\mathrm{1,82}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{138\cdot \mathrm{1,5}}{\mathrm{2,3}}}={\displaystyle \frac{207}{\mathrm{2,3}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =90\text{ m}}\end{array}$

Y la altura de la montaña es eso más la altura de los ojos, que es desde donde se ha medido todo:
$h=90+\mathrm{1,82}=\mathrm{91,82}\text{ m}$

Se comprueba con los dos pares de lados homólogos, que tienen que dar la misma razón:
${\displaystyle \frac{90}{\mathrm{1,5}}}={\displaystyle \frac{138}{\mathrm{2,3}}}=60$

La montaña mide 91,82 metros de altura.