Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Dos casitas de cartón son semejantes. La razón de semejanza es 1,5. Para fabricar la casita pequeña, se han necesitado 7,2 dm² de cartón, y sabemos que su volumen es de 6,4 l. ¿Cuánto cartón lleva la grande y qué volumen tiene?

Las dos casitas son semejantes con razón 1,5, y eso quiere decir que cada LONGITUD de la grande (el largo, el ancho, el alto, la arista del tejado) mide 1,5 veces la de la pequeña. Los lados homólogos son cada medida de una con la misma medida de la otra.

Pero ni el cartón ni el volumen son longitudes, y ahí está la trampa. El cartón es una SUPERFICIE, y las superficies no se multiplican por la razón sino por su cuadrado, porque al ampliar crecen a la vez las dos dimensiones de cada cara:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{S}{S^{\mathrm{\prime }}}}=r^2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\mathrm{7,2}\cdot {\mathrm{1,5}}^2=\mathrm{7,2}\cdot \mathrm{2,25}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{16,2}{\text{dm}}^2}\end{array}$

El volumen es un CUERPO, con tres dimensiones, así que se multiplica por la razón al cubo:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{V}{V^{\mathrm{\prime }}}}=r^3}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\mathrm{6,4}\cdot {\mathrm{1,5}}^3=\mathrm{6,4}\cdot \mathrm{3,375}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{21,6}\text{ l}}\end{array}$

Multiplicar por 1,5 a secas es el error más repetido del tema, y aquí se paga dos veces: daría 10,8 decímetros cuadrados de cartón y 9,6 litros de volumen, y las dos cosas están mal.

La casita grande lleva 16,2 decímetros cuadrados de cartón y tiene un volumen de 21,6 litros.