Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Aplicando el Teorema de Thales, calcula el valor de x e y en esta figura:

En el dibujo hay dos rectas secantes, que se cortan en un punto, y tres rectas paralelas que cortan a las dos. Esa es exactamente la situación del teorema de Tales: los segmentos que las paralelas determinan en una de las secantes son proporcionales a los que determinan en la otra.

Los segmentos se emparejan tramo a tramo, contándolos siempre desde el punto donde se cortan las dos secantes: al de 3 cm de la secante de arriba le corresponde el de 15 cm de la de abajo, al de 4 cm le corresponde $x$ y al de 2 cm le corresponde $y$.











$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{AB}{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{BC}{B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{AC}{A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
${\displaystyle \frac{3}{15}}={\displaystyle \frac{4}{x}}={\displaystyle \frac{2}{y}}$

Del par que se conoce entero sale la razón entre las dos secantes: cada tramo de la de abajo mide 5 veces lo que su homólogo de arriba.
$r={\displaystyle \frac{15}{3}}=5$

Y con esa razón salen los dos tramos que faltan:
$x=4\cdot 5=20\text{ cm}$
$y=2\cdot 5=10\text{ cm}$

Se comprueba con los tres pares de tramos, que tienen que dar la misma razón:
${\displaystyle \frac{15}{3}}={\displaystyle \frac{20}{4}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5$

Los tramos que faltaban miden 20 centímetros y 10 centímetros.