Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Para medir la altura de la casa, Álvaro de 165 cm de altura, se situó a 1,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas en la figura. ¿Cuánto mide la casa?

Álvaro mira por encima de la verja hasta lo alto de la casa: su visual es una sola recta. Medido todo desde el nivel de sus ojos, esa recta hace de lado inclinado de dos triángulos rectángulos, el de la verja y el de la casa, que comparten el ángulo de la visual y tienen los dos un ángulo recto, porque las alturas son verticales y las distancias horizontales. Por el criterio de los dos ángulos, son semejantes.

Los lados homólogos son las distancias horizontales entre sí, la de Álvaro a la verja con la de Álvaro a la casa, y las alturas SOBRE EL NIVEL DE LOS OJOS entre sí. Otra vez lo que entra en la proporción no es la altura de la verja, sino lo que sobresale por encima de los ojos de Álvaro.











La altura de Álvaro viene en centímetros y el resto en metros, así que primero se unifican las unidades:
$165\text{ cm}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ m}}{100\text{ cm}}}=\mathrm{1,65}\text{ m}$

Lo que la verja sobresale por encima de los ojos:
$\mathrm{3,5}-\mathrm{1,65}=\mathrm{1,85}\text{ m}$

Y la distancia de Álvaro a la casa, que es la suya a la verja más la de la verja a la casa:
$\mathrm{1,5}+25=\mathrm{26,5}\text{ m}$

Ahora la proporción entre los dos triángulos semejantes, con la altura de la casa como incógnita:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
${\displaystyle \frac{h-\mathrm{1,65}}{\mathrm{26,5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,85}}{\mathrm{1,5}}}$

Se despeja lo que la casa sobresale por encima de los ojos. La división no es exacta, así que se deja en forma de fracción para no redondear a mitad de camino:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle h-\mathrm{1,65}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{26,5}\cdot \mathrm{1,85}}{\mathrm{1,5}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{49,025}}{\mathrm{1,5}}}={\displaystyle \frac{1961}{60}}}\end{array}$

Y la altura de la casa es eso más la altura de los ojos, que es desde donde se ha medido todo:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle h}& {\displaystyle =\mathrm{1,65}+{\displaystyle \frac{1961}{60}}={\displaystyle \frac{99}{60}}+{\displaystyle \frac{1961}{60}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2060}{60}}={\displaystyle \frac{103}{3}}\approx \mathrm{34,33}\text{ m}}\end{array}$

Se comprueba con los dos pares de lados homólogos, que tienen que dar la misma razón:
${\displaystyle \frac{1961\mathrm{/}60}{\mathrm{1,85}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{26,5}}{\mathrm{1,5}}}={\displaystyle \frac{53}{3}}$

La casa mide 34,33 metros de altura.