Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Los triángulos ABC y MNP son semejantes con razón de semejanza 3. Si: AB= 5 cm, AC= 10 cm y A=M=40° calcula la medida de los lados MN y MP.

Los dos triángulos son semejantes porque lo dice el enunciado, y el dato de que $A$ y $M$ midan los dos ${40}^{\circ }$ confirma el emparejamiento que ya anuncia el orden de las letras: $A$ con $M$, $B$ con $N$ y $C$ con $P$.

De ahí sale qué lado va con cuál: $AB$ se corresponde con $MN$, porque los dos van del primer vértice al segundo, y $AC$ con $MP$, que van del primero al tercero.

La razón de semejanza es 3 y va del triángulo ABC al MNP, así que cada lado de ABC mide el triple que su homólogo de MNP:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
${\displaystyle \frac{AB}{MN}}={\displaystyle \frac{AC}{MP}}=3$

Se despeja cada uno dividiendo entre 3:
$MN={\displaystyle \frac{5}{3}}\text{ cm}\approx \mathrm{1,67}\text{ cm}$
$MP={\displaystyle \frac{10}{3}}\text{ cm}\approx \mathrm{3,33}\text{ cm}$

Se comprueba deshaciendo la división, que tiene que devolver los lados de ABC:
${\displaystyle \frac{5}{3}}\cdot 3=5\text{ cm}$
${\displaystyle \frac{10}{3}}\cdot 3=10\text{ cm}$

El lado MN mide 5 tercios de centímetro, unos 1,67 centímetros, y el lado MP mide 10 tercios, unos 3,33 centímetros.