Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Un gran árbol, a las once de la mañana de cierto día, arroja una sombra de 6,5 metros. Próximo a él, un cobertizo de 2,8 metros de altura proyecta una sombra de 70 cm. ¿Cuál es la altura del árbol?

El Sol está tan lejos que sus rayos llegan paralelos a todo lo que hay en un mismo sitio, y el árbol y el cobertizo están uno al lado del otro y a la misma hora. Cada uno con su sombra forma un triángulo rectángulo, y los dos triángulos tienen dos ángulos iguales: el que el rayo hace con el suelo, que es el mismo porque los rayos son paralelos, y el recto que hacen el suelo y el cuerpo, que está de pie. Por el criterio de los dos ángulos, son semejantes. Sin esa frase la proporción de abajo no tendría por qué cumplirse.

Los lados homólogos son las alturas entre sí, la del árbol con la del cobertizo, y las sombras entre sí, la del árbol con la del cobertizo. A cada cuerpo, su propia sombra.

Las dos sombras vienen en unidades distintas y hay que ponerlas en la misma antes de dividir. La del cobertizo, pasada a metros:
$70\text{ cm}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ m}}{100\text{ cm}}}=\mathrm{0,7}\text{ m}$

Ahora ya se puede plantear la proporción, porque los lados homólogos de dos figuras semejantes son proporcionales:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
${\displaystyle \frac{h}{\mathrm{2,8}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,5}}{\mathrm{0,7}}}$

Se despeja la altura del árbol multiplicando en cruz:
$h={\displaystyle \frac{\mathrm{2,8}\cdot \mathrm{6,5}}{\mathrm{0,7}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{18,2}}{\mathrm{0,7}}}=26\text{ m}$

Se comprueba con los dos pares de lados homólogos, que tienen que dar la misma razón:
${\displaystyle \frac{26}{\mathrm{2,8}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,5}}{\mathrm{0,7}}}={\displaystyle \frac{65}{7}}$

El árbol mide 26 metros de altura.