Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Los lados de un triángulo miden 12, 8 y 6 cm. Calcula la medida de los lados del triángulo semejante cuyo perímetro es 18 cm.

El enunciado dice que los dos triángulos son semejantes, así que sus lados homólogos son proporcionales y los tres guardan la misma razón. Y como el perímetro es la suma de los tres lados, los perímetros guardan también esa misma razón: es lo que permite calcularla aquí, donde del segundo triángulo no se conoce ningún lado suelto.

Los lados homólogos son el mayor con el mayor, el mediano con el mediano y el menor con el menor.

El perímetro del primer triángulo:
$P=12+8+6=26\text{ cm}$

Y la razón del segundo respecto del primero, que es la de sus perímetros:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
$r={\displaystyle \frac{18}{26}}={\displaystyle \frac{9}{13}}$

Cada lado del triángulo nuevo es su homólogo del primero multiplicado por esa razón. La división no es exacta, así que se deja en forma de fracción y solo se redondea al final:
$12\cdot {\displaystyle \frac{9}{13}}={\displaystyle \frac{108}{13}}\approx \mathrm{8,31}\text{ cm}$
$8\cdot {\displaystyle \frac{9}{13}}={\displaystyle \frac{72}{13}}\approx \mathrm{5,54}\text{ cm}$
$6\cdot {\displaystyle \frac{9}{13}}={\displaystyle \frac{54}{13}}\approx \mathrm{4,15}\text{ cm}$

Se comprueba sumando los tres, que tienen que dar justo el perímetro pedido:
${\displaystyle \frac{108}{13}}+{\displaystyle \frac{72}{13}}+{\displaystyle \frac{54}{13}}={\displaystyle \frac{234}{13}}=18\text{ cm}$

Los lados del triángulo semejante miden, aproximadamente, 8,31 cm, 5,54 cm y 4,15 cm.