Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas.

Dos polígonos regulares con el mismo número de lados son siempre semejantes: cada uno tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales, y esos ángulos valen lo mismo en los dos porque solo dependen de cuántos lados tiene el polígono, no de lo que midan. Así que estos dos pentágonos regulares sí son semejantes.

Los lados homólogos son un lado de uno con un lado del otro, cualquiera de ellos, porque dentro de cada pentágono todos miden lo mismo. La razón de semejanza sale de ese par:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
$r={\displaystyle \frac{7}{5}}$

La razón entre las áreas no es esa, y es el error más repetido del tema. Las áreas van con el CUADRADO de la razón, porque al ampliar una figura se multiplican por $r$ sus dos dimensiones, el largo y el ancho:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{S}{S^{\mathrm{\prime }}}}=r^2}}$
${\displaystyle \frac{S}{S^{\mathrm{\prime }}}}={\left({\displaystyle \frac{7}{5}}\right)}^2={\displaystyle \frac{49}{25}}=\mathrm{1,96}$

Los dos pentágonos son semejantes y la razón entre sus áreas es 49 partido por 25, o sea 1,96: el pentágono grande tiene un área 1,96 veces la del pequeño.