Ejercicio resuelto de Teorema de Tales · Matemáticas 4 ESO

La razón de semejanza de dos cuadrados es 1,5. El cuadrado de menor tamaño tiene un perímetro de 20 cm. Calcula:

a) El perímetro del cuadrado mayor.
b) El área de cada uno de ellos.

Dos cuadrados cualesquiera son siempre semejantes: los dos tienen los cuatro ángulos rectos y los cuatro lados iguales, así que el grande no es más que una ampliación del pequeño. Aquí la razón de semejanza es $r=\mathrm{1,5}$, y los lados homólogos son el lado de uno con el lado del otro: cada longitud del cuadrado grande mide 1,5 veces la del pequeño.


$\mathbf{\text{a)}}$ El perímetro es la suma de los cuatro lados, o sea una longitud, así que se comporta como un lado: al pasar del cuadrado pequeño al grande queda multiplicado por la razón de semejanza.
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{a^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\mathrm{\prime }}}}=r}}$
$P=20\cdot \mathrm{1,5}=30\text{ cm}$

El cuadrado mayor tiene un perímetro de 30 centímetros.


$\mathbf{\text{b)}}$ Para el área hacen falta los lados, porque el área de un cuadrado es el lado multiplicado por sí mismo. Un cuadrado tiene los cuatro lados iguales, así que cada lado es la cuarta parte de su perímetro:
$a^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{20}{4}}=5\text{ cm}$
$a={\displaystyle \frac{30}{4}}=\mathrm{7,5}\text{ cm}$

Con el lado del pequeño ya sale su área:
$S^{\mathrm{\prime }}=5^2=25{\text{cm}}^2$

Y aquí está el paso donde más se falla: el área del grande NO se saca multiplicando por la razón, sino por la razón AL CUADRADO. Es lógico, porque al ampliar se multiplican por $\mathrm{1,5}$ las dos dimensiones, el largo y el ancho:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{S}{S^{\mathrm{\prime }}}}=r^2}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =25\cdot {\mathrm{1,5}}^2=25\cdot \mathrm{2,25}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{56,25}{\text{cm}}^2}\end{array}$

Se comprueba con el lado del cuadrado grande, que mide $\mathrm{7,5}$ cm:
${\mathrm{7,5}}^2=\mathrm{56,25}{\text{cm}}^2$

El cuadrado pequeño tiene un área de 25 centímetros cuadrados y el grande, de 56,25 centímetros cuadrados.